푸터-폴랴 정리

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더 푸터-루돌프 푸테르와 조지 폴리야에 의해 처음 증명된 폴랴 정리는 이차적 페어링 기능만이 칸토르 다항식이라고 명시하고 있다.

소개

1873년 게오르크 칸토르는 이른바 칸토르 다항식이라는^[1] 것을 보여주었다.

$[\displaystyle P(x,y):={\frac {1}{2}}((x+y)^{2}+3x+y)={\frac {x^{2}+2xy+3x+y^{2}+y}{2}}=x+{2}}=x+{\frac{(x+y)(x+y+1)}}{2}}={\binom {x}{1}:{1}+{\binom {x+y+1}{2}}}}$

N 2 ${\$}}부터 N ${\$까지의 생체적 매핑. 변수를 스와핑하여 주어지는 다항식도 페어링 함수다.

Fueter는 이 성질을 가진 다른 2차 다항식이 있는지 조사하고 있었고, P( 0, 0)= 0 ${\displaystyle$P$(0,0)=0}$을 가정하여 이것이 아니라는 결론을 내렸다. 그리고 나서 그는 정리정리가 이 조건을 요구하지 않는다는 것을 보여주는 Polya에게 편지를 썼다.^[2]

성명서

P ${\displaystyle P}$이(가) N 2 ${\$에서 N ${\$$}$ ^$2}}$ ~ ${\$로 제한되는 두 변수의 실제 2차 다항식인 경우

$[\displaystyle P(x,y):={\frac {1}{2}}((x+y)^{2}+3x+y)}}$

또는

$[\displaystyle P(x,y):={\frac {1}{2}}((y+x)^{2}+3y+x).}$

증명

원본 증거는 린데만-을 사용하면서 놀라울 정도로 어렵다.0이 아닌 대수적 수 a ${\displaystyle a}$에 대한 e a ${\$의 초월성을 증명하기 위한 Weierstrass 정리.^[3] 2002년 M. A. Vsemirnov는 이 결과에 대한 기본적인 증거를 발표했다.^[4]

푸터-폴랴 추측

정리에서는 칸토르 다항식이 N 2 ${\$2}}과 N ${\$의 유일한 2차 쌍항 다항식이라고 밝히고 있다. 추측하면 이것들만이 그러한 쌍항 다항식일 것이다.

상위 치수

칸토르 다항식의 상위차원은 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle P_{n}(x_{1},\ldots,x_{n}})=\sum _{k=1}{n}{n}{\binom {k-1++\sum _{j=1}{j}}}}}}}{k=x_{1}+}{nom {x_{1}+}{2}}{2}}{2}}}}}}{2}{2}}}}}}}}}}}}}{2}{2}{2}}}}}}}}{2}}}}+\cdots +{\binom {x_{1}+\cdots +x_{n}+n-1}{n}}}}}$

이러한 이항 계수의 합은 n ${\displaystyle n}$ 변수에서 도 n ${\displaystyle n}$의 다항식을 산출한다.이것은 적어도(n- 1)의 하나일 뿐이다! ${\디스플레이$ 스타일$(n-1)!$$}$n {\$displaystyle n}$차원에 대한 불평등 패킹 다항식.^[6]

참조