조건번호

수치해석 분야에서, 함수의 조건 번호는 입력 인수의 작은 변화에 대해 함수의 출력 값이 얼마나 변할 수 있는지를 측정한다. 이것은 함수가 입력의 변화나 오류에 얼마나 민감한지, 그리고 입력의 오류로 인한 출력 오류의 양을 측정하기 위해 사용된다. 매우 자주, 한 $f(x)=y,$ 는 역 문제를 푸는 것이다: $f(x)=y,$ f $f(x)=y,$ ( x $f(x)=y,$ ) $f(x)=y,$ = $f(x)=y,$ $f(x)=y,$ 한 가지는 $f(x)=y,$ x에 대해 해결하고 있으므로 (로컬) 역의 조건 번호를 사용해야 한다. 선형 회귀 분석에서 모멘트 행렬의 조건 번호는 다중 공선성을 위한 진단으로 사용될 수 있다.^[1]^[2]

조건 번호는 파생상품의^{[citation needed]} 적용이며, 공식적으로 입력의 상대적 변화에 대한 무증상 최악의 경우 상대적 출력 변화 값으로 정의된다. "기능"은 문제의 해결책이고 "논의"는 문제의 데이터다. 조건 번호는 선형대수의 질문에 자주 적용되며, 이 경우 파생형은 직설적이지만 오차는 여러 방향으로 이루어질 수 있으며, 따라서 행렬의 기하학에서 계산된다. 보다 일반적으로 조건 번호는 여러 변수에서 비선형 함수에 대해 정의할 수 있다.

조건 번호가 낮은 문제는 조건이 잘 갖춰져 있는 반면, 조건 번호가 높은 문제는 조건이 좋지 않은 것으로 알려졌다. 비수리적 용어에서, 잘못된 조건의 문제는 입력의 작은 변화(독립 변수)에 대해 답변 또는 종속 변수에 큰 변화가 있는 경우다. 즉, 방정식에 대한 정확한 해법/답변을 찾기 어렵게 된다. 조건 번호는 문제의 속성이다. 문제와 짝을 이루는 것은 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는, 즉 해결책을 계산하는 데 사용할 수 있는 알고리즘의 수이다. 어떤 알고리즘은 역안정성이라는 속성을 가지고 있다. 일반적으로 후진 안정 알고리즘은 잘 갖춰진 문제를 정확하게 해결할 수 있을 것으로 기대할 수 있다. 수치해석 교과서는 문제의 상태 번호에 대한 공식을 제공하고 알려진 후진 안정 알고리즘을 식별한다.

경험의 법칙으로서 조건 $\kappa (A)=10^{k}$ $\kappa (A)=10^{k}$ ) = $\kappa (A)=10^{k}$ k $\kappa (A)=10^{k}$ {\ $displaystyle \kappa(A)=10^{k$ 의 정확도를 산술적 방법에 의한 정밀도 상실로 인해 숫자법에 손실되는 것 위에 $k$ $k$ 자리까지 $k$ 잃을 수 있다.^[3] 그러나 조건 번호는 알고리즘에서 발생할 수 있는 최대 부정확도의 정확한 값을 제공하지 않는다. 이 값은 일반적으로 추정치(계산된 값은 부정확성을 측정하기 위한 표준의 선택에 따라 달라짐)로 그 범위를 제한한다.

오류 분석 컨텍스트의 일반 정의

Given a problem $f$ and an algorithm ${\tilde {f}}$ with an input x, the absolute error is $\ \delta f(x)\ :=\left\ f(x)-{\tilde {f}}(x)\right\$ and the relative error is $\left\|f(x)-{\tilde {f}}(x)\right\|/\left\|f(x)\right\|$ $\left\|f(x)-{\tilde {f}}(x)\right\|/\left\|f(x)\right\|$ ) ${\$ }\right\ $/\ft\$ f(x)\right $\left\|f(x)-{\tilde {f}}(x)\right\|/\left\|f(x)\right\|$

이 맥락에서 문제 f의 절대 조건 번호는^{[clarification needed]}

\lim_{\barepsilon \rightarrow 0}\,\super_{\\no\,\leq \,\varepsilon }{\frac {\\f(x)\{\\\\\\\\\cH00 x\}}}}}}}

그리고 상대 조건 번호는^{[clarification needed]}

\lim \baripsilon \rightarrow 0}\,\sup \\\\\barepsilon \}{\frac {\f(x)\\\\\\\\cH00\\\\cH00\\\\\\\\\c}.

행렬

예를 들어, 선형 방정식 Ax = b와 관련된 조건 번호는 근사치 후 솔루션 x가 얼마나 부정확할지에 대한 경계를 제공한다. 이는 반올림 오류의 영향을 고려하기 전이라는 점에 유의하십시오. 조건 조정은 매트릭스의 속성이지 해당 시스템을 해결하는 데 사용되는 컴퓨터의 알고리즘이나 부동 소수점 정확도가 아니다. 특히 조건 번호는 b의 변경과 관련하여 솔루션 x가 변경되는 비율(매우 대략)으로 생각해야 한다. 따라서 조건 번호가 크면 b의 작은 오차라도 x에 큰 오차를 일으킬 수 있다. 반면에 조건 번호가 작으면 x의 오차는 b의 오차보다 그리 크지 않다.

조건 번호는 x의 상대적 오류 대 b의 상대적 오류의 최대 비율로 더 정확하게 정의된다.

b의 오류로 e를 두자. A가 비정렬 행렬이라고 가정하면, 용액 Ab의⁻¹ 오차는 Ae이다⁻¹. b의 상대적 오류에 대한 솔루션에서의 상대적 오류의 비율은 다음과 같은 값이다.

{\frac {\left\ A^{-1}e\right\ }{\left\ A^{-1}b\right\ }}/{\frac {\ e\ }{\ b\ }}={\frac {\left\ A^{-1}e\right\ }{\ e\ }}{\frac {\ b\ }{\left\ A^{-1}b\right\ }}.

최대값(비제로 b와 e에 대한)은 다음과 같은 두 운영자 규범의 산물로 간주된다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\max _{e,b\neq 0}\left\{{\frac{\left\ A^{)}e\right\}{)e\}}{\frac{))}{\left\ A^{)}b\right\}}\right\}&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac{\left\ A^{)}e\right\}{)e\}}\right\}\,\max _{b\neq 0}\left\{{\frac{))}{\left\ A^{)}b\right\}}\right\}\\&, =\max _{e\neq 0}\left\{{\frac{\left\ A^{)}e\right\}{년.e\}}\right\}\,\max _{x\neq 0}\좌측\{\fract\\\\\\x\}}\x\}}\\\=좌측\A^{1}\우측\\\\\A\\\\우측}\\\A\.\종료{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

동일한 정의가 모든 일관된 규범, 즉 충족되는 규범에 사용된다.

\displaystyle \kappa (A)=\좌측\A^{-1}\우측\\,\좌측\A\geq\좌측\A^{-1}A\우측\ =1)}

조건 번호가 정확히 1일 때(A가 선형 등사계수의 스칼라 배수일 경우에만 발생할 수 있음), 솔루션 알고리즘은 데이터의 정밀도보다 나쁘지 않은 용액의 근사치를 찾을 수 있다(원칙적으로, 알고리즘이 자체 오류를 도입하지 않는 경우).

단, 알고리즘에 의해 도입된 전방 오류도 중간 반올림 오류의 누적으로 인해 이탈하지 않는 한, 소스 데이터의 부정확성(후방 오류) 때문에 임의로 이탈하지 않는다는 것만으로, 알고리즘이 이 솔루션으로 빠르게 수렴한다는 것을 의미하지는 않는다.^{[clarification needed]}

조건 번호도 무한할 수 있지만, 이는 문제가 잘못 발생했음을 암시하며(데이터의 각 선택에 대해 잘 정의된 고유한 솔루션을 보유하지 않음, 즉 매트릭스는 변환할 수 없음), 어떤 알고리즘도 솔루션을 신뢰성 있게 찾을 것으로 기대할 수 없다.

조건 번호의 정의는 두 가지 예에서 설명할 수 있듯이, 규범의 선택에 따라 달라진다.

$\|\cdot \|$ $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|$ ${\displaystyle \cdot$ \}이 $($ 가) 제곱합 시퀀스 공간 ℓ²(표준 유클리드 공간에서 통상적인 거리와 일치하며 일반적으로 $\|\cdot \|_{2}$ $\|\cdot \|_{2}$ $\|\cdot \|_{2}$ $\|\cdot \|_{2}$ ${\$ \ $_{2$ }} $\|\cdot \|_{2}$ as)로 $\|\cdot \|$ 표시된 경우, $\|\cdot \|_{2}$ 그 다음,

\kappa (A)={\frac {\sigma _{\text{max}(A)}{\sigma _{\text{min}}}},

여기서 $\sigma _{\text{max}}(A)$ ( $\sigma _{\text{max}}(A)$ ) ${\displaystyle \sigma$ $_{\text{max}($ $A)}$ 및 $(A)$ 은 $\sigma _{\text{max}}(A)$ $\sigma _{\text{min}}(A)$ $A$ 각각 $A$ $A$ 의 최대 및 최소 단수 값이다. 따라서 다음과 같다.

$A$ $A$ 이(가) 정상이면 $A$

\kappa (A)={\frac {\\\lambda _{\text{max}(A)\right }{\lambda _{\text{min}}}}},},

여기서

\lambda _{\text{max}}(A)

(

\lambda _{\text{max}}(A)

)

\lambda _{\text{max}(A)

및

\lambda _{\text{min}}(A)

(

)}{\displaystyle \lambda _{\text{min}}(A)

은

\lambda _{\text{max}}(A)

각각

A

{\displaystysty}

의 최대 및 최소 고유값이다

\lambda _{\text{min}}(A)

.

$A$ $A$ 이 $A$ (가) $\kappa (A)=1.$ 인 경우 $\kappa (A)=1.$ ( $\kappa (A)=1.$ ) $\kappa (A)=1.$ = 1. ${\displaystyle \kappa (A)=1.$ $}$

L에² 관한 조건 번호는 숫자 선형대수에서 너무 자주 발생하기 때문에 행렬의 조건번호인 이름이 주어진다.

만약 ‖‖{\displaystyle\와 같이 \cdot)}⋅의 풍조이다. 모든 경계가 설정된 시퀀스의 시퀀스에 공간 ℓ∞에(고 보통‖⋅‖ ∞에 의해 표시됩니다.{\displaystyle)\cdot\_{\infty}}거리를 기지 subspaces에 전망에 측정한 최대 일치하는)정의되는, A{A\displaystyle}더 낮은 삼각 non-singula.r (즉, $a_{ii}\neq 0$ $i$ ${\$ $displaystyle a_{i}\neq$ 0 $}$ 에 대한 $a_{ii}\neq 0$ $a_{ii}\neq 0$ $a_{ii}\neq 0$ $a_{ii}\neq 0$ ${\$ $displaystyle i})$ $i$ 그런 다음

\kappa(A)\geq {\frac {\max}{i}{\big (}a_{i} {\big )}{\min _{{i}{big (} a_{i}{\big )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

삼각형 행렬의 고유값이 단순히 대각선 입력이라는 것을 상기한다.

그 조건이 이러한 규범과 계산된 일반적으로 조건 번호square-summable 시퀀스로 계산되지만, 그러나 더 쉽게 평가될 수 있고(이것은 종종 유일한 실행 가능하게 계산할 수 있는 조건 번홀 때 irr으로 수집할 때 문제가 해결하기 위해, 예를 들어 비선형적 algebra[해명 필요한]을 포함하고 있다.그리고 transcendeationalntal 함수 또는 숫자 방법).

조건 번호가 1보다 너무 크지 않으면 행렬이 잘 조건화되므로 그 역수를 정확하게 계산할 수 있다. 조건 번호가 매우 크면 행렬이 불량하다고 한다. 실제로 그러한 행렬은 거의 단수적이며, 그 역행렬의 연산, 즉 방정식의 선형 시스템의 해법은 큰 수적 오차를 일으키기 쉽다. 변환불가능하지 않은 행렬은 조건 번호가 무한대와 같다.

비선형

조건 번호는 비선형 함수에 대해서도 정의할 수 있으며, 미적분학을 사용하여 계산할 수 있다. 조건 번호는 지점에 따라 달라진다. 어떤 경우에는 전체 조건 번호로 질문의 함수 영역 또는 도메인 상에 있는 최대(또는 우월) 조건 번호를 사용할 수 있고, 다른 경우에는 특정 지점의 조건 번호가 더 흥미롭다.

한 변수

한 변수에서 $f$ 함수로서 다른 $함수$ f{\ $displaystyle$ f $}$ 의 조건 번호는 $\left|xf'/f\right|$ $\left|xf'/f\right|$ $\left|xf'/f\right|$ / f $displaystyle \좌측 xf'/f\우측$ }이다 $\left|xf'/f\right|$ x ${\displaystyle$ x $}$ 지점에서 평가됨 $x$ 이것은

\왼쪽 {\frac {frac'(x)}{f(x)}}\오른쪽 .

Most elegantly, this can be understood as (the absolute value of) the ratio of the logarithmic derivative of $f$ , which is $(\log f)'=f'/f$ , and the logarithmic derivative of $x$ , which is ${\displaystyle$ $(\log x)'=x'/x=1/x}$ , yielding a ratio of $xf'/f$ . This is because the logarithmic derivative is the infinitesimal rate of relative change in a function: it is the derivative $f'$ scaled by the value of $f$ . Note that if a function has a zero at a point, its co입력의 극소수의 변화로 출력이 0에서 양 또는 음으로 바뀔 수 있고, 분모에 0이 있는 비율을 산출하므로 점에서의 nd는 무한하다.

More directly, given a small change $\Delta x$ in $x$ , the relative change in $x$ is $[(x+\Delta x)-x]/x=(\Delta x)/x$ , while the relative change in $f(x)$ is $[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)$ $[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)$ $[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)$ ) $[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)$ / f ( $[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)$ ) ${\displaystyle [f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x$ 비율 계산 결과 산출량

{\frac {[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)}{(\Delta x)/x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.

마지막 항은 차이 지수(제분선의 기울기)이며, 한도를 선택하면 파생상품이 산출된다.

일반적인 기본 함수의 조건 수는 유의한 수치를 계산하는 데 특히 중요하며 파생 모델에서 즉시 계산할 수 있다. 초월 함수의 유의성 산수를 참조한다. 몇 가지 중요한 사항은 다음과 같다.

이름	기호	조건번호
덧셈 / 뺄셈	$(\displaystyle x+a}$	$\왼쪽 {\frac {x}{x+a}\오른쪽$
스칼라 곱하기	$(\displaystyle acx)$	$1$
나누기	$1/x$	$1$
다항식	$x^{n}$	${\displaystylen }$
지수함수	$e^{x}$	$x$
자연 로그 함수	$\ln(x)$	$\왼쪽 {\frac {1}{\ln(x)}}\오른쪽$
사인 함수	$\displaystyle \sin(x)}$	$x\property(x)$
코사인 함수	$\displaystyle \cos(x)}$	$} {\displaystyle x\tan(x)$
접선 함수	$\displaystyle \tan(x)}$	$x(\tan(x)+\display(x)$
역사인함수	$\arcsin(x)$	${\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arcsin(x)}}$
역코사인함수	$\displaystyle \arccos(x)}$	${\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arccos(x)}}$
역 탄젠트 함수	$\displaystyle \arctan(x)}$	${\frac}{x}{(1+x^{2})\arctan(x)}}$

여러 변수

조건 번호는 일부 도메인(예: 실제 $번호$ x ${\$ $displaystyle x$ 에서 일부 코도메인( $f(x)$ :n {\ $displaystyle$ x $m$ })으로 $f$ 데이터를 매핑하는 $f(x)$ f {\ $displaystyle$ f $(x$ )에 대해 정의할 수 있으며, $f(x)$ 여기서 도메인과 코도마이 모두 사용할 수 있다 $.$ n은 바나흐 공간이다. 그들은 그 기능이 그 주장의 작은 변화(또는 작은 오류)에 얼마나 민감한지를 표현한다. 이는 다항식 루트 찾기 또는 고유값 계산과 같은 수많은 계산 문제의 민감도 및 잠재적 정확도 난이도를 평가하는 데 매우 중요하다.

f{\displaystyle f}의 지점에서 조건 번호){\displaystyle)}(특히 상대적인 조건 number[4])그때 f의 부분 변화의 x{\displaystyle)}에 분수 변화가 될 것을 최대 비율()){\displaystyle f())}이 변화 δ은 한도에서){\displa 정의된다.yst $x$ {\ $displaystyle x}$ 의 $\delta x$ $yle \cHB x}$ 이(가) 매우 작아짐 $x$ :^[4]

\displaystyle \lim _{\barepsilon \to 0^{+}}\sup _{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\{\frac {\frac\f(x+\f)-f(x)\right\{\f(x)\}}{\frac{\\\\}{\frac{\\\x\}\right,}}}

여기서 $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|$ ${\displaystyle \cdot$ \ $}$ 은(는) $f$ $f$ 의 도메인/코도메인에서 표준이다 $\|\cdot \|$ $f$

$f$ $f$ 이 $f$ (가) 다를 수 있는 경우 이는 다음과 같다.^[4]

{\frac {\J(x)\}{\ f(x)\ /\ x\},

여기서 $J(x)$ ( x $J(x)$ ) $J(x)$ 은 $f$ $($ 는) $x$ {\ $displaystyle x}$ 에서f {\ $displaystyle$ f $}$ 의 부분 파생상품의 Jacobian 행렬을 나타내며 $J(x)$ $x$ and $\|J(x)\|$ J ( $\|J(x)\|$ ) $\|J(x)\|$ ${\displaysty$ \ $J(x)\}$ 은 행렬의 $\|J(x)\|$ 유도 규범이다.

참고 항목

참조

^ Belsley, David A.; Kuh, Edwin; Welsch, Roy E. (1980). "The Condition Number". Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity. New York: John Wiley & Sons. pp. 100–104. ISBN 0-471-05856-4.
^ Pesaran, M. Hashem (2015). "The Multicollinearity Problem". Time Series and Panel Data Econometrics. New York: Oxford University Press. pp. 67–72 [p. 70]. ISBN 978-0-19-875998-0.
^ Cheney; Kincaid (2008). Numerical Mathematics and Computing. p. 321. ISBN 978-0-495-11475-8.
^ Jump up to: ^a ^b ^c Trefethen, L. N.; Bau, D. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.

추가 읽기

Demmel, James (1990). "Nearest Defective Matrices and the Geometry of Ill-conditioning". In Cox, M. G.; Hammarling, S. (eds.). Reliable Numerical Computation. Oxford: Clarendon Press. pp. 35–55. ISBN 0-19-853564-3.

외부 링크

[1] Belsley, David A.; Kuh, Edwin; Welsch, Roy E. (1980). "The Condition Number". Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity. New York: John Wiley & Sons. pp. 100–104. ISBN 0-471-05856-4.

[2] Pesaran, M. Hashem (2015). "The Multicollinearity Problem". Time Series and Panel Data Econometrics. New York: Oxford University Press. pp. 67–72 [p. 70]. ISBN 978-0-19-875998-0.

[Numerical_Mathematics_and_Computing,_by_Cheney_and_Kincaid-3] Cheney; Kincaid (2008). Numerical Mathematics and Computing. p. 321. ISBN 978-0-495-11475-8.

[TrefethenBau-4] Jump up to: ^a ^b ^c Trefethen, L. N.; Bau, D. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.

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