본디 k-분산

본디 k-미적분은 헤르만 본디 경에 의해 보급된 특수상대성이론을 가르치는 방법으로, 대학 수준의 물리학 수업(예: 옥스퍼드^[1] 대학)과 일부 상대성 교과서에 사용되어 왔다.^[2][3]

k-미적분학의 유용성은 단순성이다.상대성에 대한 많은 도입은 속도의 개념과 로렌츠 변환의 파생으로부터 시작된다.그 후 시간확장, 길이수축, 동시성의 상대성, 쌍둥이의 역설의 분해능, 상대론적 도플러 효과와 같은 다른 개념들은 모두 속도의 함수로 로렌츠 변환에서 파생된다.

본디는 1964년에 처음 출판되고 1962년에 일러스트레이티드 런던 뉴스에 게재된 기사를 바탕으로 ^[4]한 그의 책 상대성과 상식에서 발표 순서를 뒤집는다.그는 k ${\displaystyle k}($방사성 도플러 인자임이 밝혀짐)로 나타내는 이른바 "근본비"로 시작한다.^[5]이로부터 그는 쌍둥이의 역설과 동시성, 시간확장, 길이수축의 상대성을 모두 k ${\displaystyle k}$의 관점에서 설명한다. 그가 속도와 기본비 k ${\displaystyle k}$ 사이의 연계를 제공하는 것은 나중에야 설명된다.로렌츠 변신은 책의 끝을 향해 나타난다.

역사

k-미적분법은 1935년 E. A. Milne에 의해 이전에 사용되었다.^[6]Milne은 일정한 도플러 인자를 나타내기 위해 문자 s ${\displaystyle s}$를 사용했지만 비삽입 운동(따라서 다양한 도플러 인자를 포함하는 더 일반적인 경우를 고려했다.본디는 s ${\displaystyle s}$ 대신 k ${\displaystyle$ k$}$라는 문자를 사용하고 프레젠테이션을 단순화(상수 k ${\displaystyle k}$에만 해당)한 후 "k-maluce"^[7]라는 이름을 소개했다.

본디의 k-factor

앨리스와 밥이라는 두 관성 관찰자가 일정한 상대 속도로 서로서 바로 멀어지는 것을 생각해 보라.앨리스는 자신의 시계에 의해 측정된 T ${\displaystyle T}$초마다 한 번씩 밥에게 푸른 빛을 보낸다.앨리스와 밥은 멀리 떨어져 있기 때문에 앨리스가 플래시를 보내는 것과 밥이 플래시를 받는 것 사이에는 지연이 있다.나아가 분리거리도 일정한 비율로 꾸준히 증가하고 있어 지연이 계속 증가하고 있다.이것은 밥 사이의 시간 간격을 둔 덕목, 그것은 그의 시계에 의해 측정 받고, T{T\displaystyle}초보다 큰다는 것을 의미한다면 앨리스와 밥이 k T몇몇 상수 k을에{kT\displaystyle}초마다 1{\displaystyle k> 1}.(, 대신에 직접 서로에 대한 감동 비슷한 주장 apply, 것이라고 말한다.그렇지만그런 경우 < 1 ${\displaystyle k<1}.$^[8]

본디는 k ${\displaystyle k}$을 '근본적 비율'^[9]으로 묘사하고 있으며, 그 이후 다른 저자들은 이를 '본디 k-factor' 또는 '본디의 k-factor'^[10]라고 불렀다.

앨리스의 섬광은 그녀의 시계로 f= 1/ T ${\displaystyle f_{s}=1/T}$Hz의 주파수로 전송되며, 밥은 fo= 1 /( k) $displaystyle f_{o}=1/(kT)}$Hz의 주파수로 그의 시계로 수신된다.이것은 f /f o = k ${\displaystyle f_{s}/f_{o}=k}$의 도플러 인자를 암시한다. 따라서 본디의 k-factor는 도플러 인자의 또 다른 이름이다(원본디 소스 앨리스와 관찰자 밥이 서로 바로 멀거나 서로를 향해 이동할 때).^[5]

앨리스와 밥이 역할을 바꾸고, 밥이 앨리스에게 섬광을 보낸다면, 상대성 원리(아인슈타인의 첫 가정)는 모든 관성 관찰자가 동등하기 때문에 밥에서 앨리스로 이어지는 k-요인과 동일한 값이 될 것임을 암시한다.그래서 k-요인은 관찰자 사이의 상대적인 속도에만 의존하고 다른 것은 아무것도 없다.^[8]

역수 k-요인

이제, 앨리스와 일정한 거리인 세 번째 관성 관찰자 데이브와, 밥이 앨리스와 데이브 사이의 직선에 놓여 있다는 것을 생각해 보라.앨리스와 데이브는 서로 쉬고 있기 때문에 앨리스에서 데이브로의 지연은 일정하다.이것은 데이브가 앨리스의 푸른 섬광을 그의 시계로 T ${\displaystyle T}$초마다 한 번씩 받는다는 것을 의미한다.즉 앨리스에서 데이브에 이르는 k-factor는 1과 같다.^[11]

이제 밥이 앨리스로부터 파란 플래시를 받을 때마다 즉시 자신의 빨간 플래시를 K T ${\displaystyle kT}$초마다 데이브에게 보낸다고 가정해보자.빛의 속도가 그 근원의 움직임과 무관하다는 아인슈타인의 두 번째 가정은 앨리스의 블루 플래시와 밥의 레드 플래시는 둘 다 다른 것을 추월하지 않고 같은 속도로 이동하며 따라서 데이브에게 동시에 도착한다는 것을 암시한다.그래서 Dave는 Bob으로부터 매 T{\$displaystyle$T}초마다, Bob이 K ${\displaystyle kT}$다 전송한 Dave의 시계로 빨간 플래시를 받는다.이는 Bob에서 Dave까지의 k-요인이 1/ k ${\displaystyle$ 1$/k}$을 의미한다.^[8]

이는 관찰자가 직접 떨어져서 이동하는 k-요인(빨간색 이동)이 동일한 속도(파란색 이동)로 서로 직접 이동하는 k-요인의 역수임을 입증한다.

쌍둥이의 역설

이제 네 번째 관성 관찰자 캐롤을 생각해 보십시오. 그는 밥이 앨리스에서 데이브로 이동하는 것과 정확히 같은 속도로 데이브에서 앨리스로 이동한다.캐롤의 여정은 밥이 도착하는 것과 정확히 같은 시간에 데이브를 떠날 정도로 시간적 여유가 있다.앨리스, 밥, 캐롤의 시계에 의해 t A, t B, t C ${\$에 의해 기록된 시간을 나타낸다.

밥이 앨리스를 지나갈 때, 그들 둘은 그들의 시계를 t A= t B= 0 $[\displaystyle t_{$$A}=t_{B}=0}$.캐롤이 밥을 지나갈 때, 그녀는 그녀의 시계를 밥의 시계와 동기화한다, t C= t B ${\$ 마지막으로 캐롤이 앨리스를 지나갈 때, 그들은 서로 시계를 비교한다.뉴턴 물리학에서, 최종 비교에서 앨리스와 캐롤의 시계가 일치할 것이라는 예상은 t C= t A ${\$ 상대성에서는 이것이 사실이 아님을 아래에 나타낼 것이다.일란성 쌍둥이가 분리돼 재결합하는 '트윈즈 역설'의 한 버전인데, 이제는 한 쌍둥이가 다른 쌍둥이에 비해 나이가 많다는 사실을 알게 됐다.

앨리스가 시간 t A= T ${\displaystyle t_{A}=$에 섬광을 보내는 경우Bob을 $향해$ T$}$을(를) 향한 다음, k-요인의 정의에 의해 시간 T= k T ${\displaystyle t_{B}=kT}$에 Bob이 수신한다.이 플래시는 밥이 캐롤을 만나는 순간 밥에 도착하기 위해 타이밍이 맞춰져 있어서, 캐롤은 그녀의 시계를 T C=t = k = k T{\$displaystyle t_{C}=t_{$B}=$kT}$를 읽도록 동기화한다.

또한 밥과 캐롤이 만나면 둘 다 동시에 앨리스에게 섬광을 보내 앨리스가 동시에 수신한다.첫째, 시간 t B = k T ${\displaystyle t_{B}=kT}$에 전송된 Bob의 플래시는 시간 tA = k 2 T{\$displaystyt t_{}$에 앨리스가 수신해야 한다.$A}=k^{2}T},$ 앨리스에서 밥으로 이어지는 k-요인이 밥에서 앨리스로 이어지는 k-요인과 동일하다는 사실을 이용한 것이다.

As Bob's outward journey had a duration of ${\displaystyle kT}$, by his clock, it follows by symmetry that Carol's return journey over the same distance at the same speed must also have a duration of ${\displaystyle kT}$, by her clock, and so when Carol meets Alice, Carol's clock reads ${\displaystyle t_{C}=$$2kT$ 여행의 이 다리에 대한 k-요인은 역수 1/ k ${\displaystyle 1/k}($앞서 논의한 바와 같이)여야 하므로, 앨리스 쪽으로의 캐롤의 플래시를 고려하면, K ${\displaystyle kT}$의 전송 간격은 T ${\displaystytyle T}$의 수신 간격에 해당한다는 것을 의미한다., 캐롤과 앨리스가 만났을 때 t A=( k 2+ 1)T ${\displaystyle t_{A}=(k^{2}+1$)이다$.$$T$ 이후 Carol의 시계 시간 t = 2k T{\$displaystyle t_{$C}=$2kT}$보다 크다.

${\displaystyle t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}}T>0,}$

제공된 k ≠ 1 ${\displaystyle k\neq 1}$ 및 > ${\displaystyle T>0$^[12]

레이더 측정 및 속도

k-분산 방법론에서 거리는 레이더를 사용해 측정한다.관찰자는 목표물을 향해 레이더 펄스를 보내고 그것으로부터 메아리를 받는다.레이더 펄스(빛의 속도, c ${\displaystyle c}$에서 이동)는 대상까지의 거리의 두 배에 해당하는 총 거리를 왕복으로 이동하며, T2 - T 1{\$displaystyle T_{2}-T_{1$}:{1$}}$ 시간이 소요되며, 여기서 T 1 ${\$ $T_{$$1}$및 T 2 ${\$ T_{2$}}$회 $시간$이 기록된다.레이더 펄스의 전송 및 수신 시 관측자 시계이는 목표물까지의 거리가^[13]

${\displaystyle x_{A}={\tfrac {1}{1}{2}}c(T_{2}-T_{1})).}$

더욱이 빛의 속도는 양방향 모두 같기 때문에 레이더 펄스가 목표물에 도달하는 시간, 즉 송신과 수신 시간의 중간이 되어야 한다^[13].

${\displaystyle t_{A}={\tfrac {1}{1}:{2}}(T_{2}+T_{1}).}$

특히 레이더 관찰자가 앨리스이고 대상이 밥(현재는 데이브와 공동 배치)인 경우, 앞에서 설명한 k-미적분법에 의해 T2 = k 2 T 1 ${\$}를 갖게 된다$.$$T_{1}:{$1}등

${\displaystyle x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}:{1}$

${\displaystyle t_{A}={\tfrac {1}{1}:{2}}(k^{2}+1)T_{1}.}$

Alice와 Bob은 tA = 0, x A = 0 ${\displaystyle t_{$에 공동 배치되었다.$A}=0,x_{$$A}=0$ 앨리스에 대한 밥의 속도는 다음과 같다^[14][15].

${\displaystyle v={\frac {x_{A}}{t_{A}}={\frac {{\tfrac {{1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}:{{\tfrac {1}{1}:{2}}(k^{2}+1)T_{1}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}=c{\frac {k-k^{-1}{k+k^{-1}}.}$

이 방정식은 속도를 본디 k-요인의 함수로 표현한다.k ${\displaystyle k}$이(가) v ${\displaystyle v}$의 함수로 k ${\displaystyle k}$을(를) 제공하는 것은 해결할 수 있다.^[14][16]

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}.}$

속도구성

같은 직선을 따라 다른 속도로 움직이는 앨리스, 밥, 에드 세 명의 관성 관찰자를 생각해 보십시오.이 절에서는 표기법 k B ${\$$AB}$은 앨리스에서 밥(그리고 다른 관찰자 쌍들 사이에서도 유사하게)에 이르는 k-요인을 나타내는 데 사용될 것이다.

전과 마찬가지로 앨리스는 그녀의 시계로 밥과 에드에게매 T {\$displaystyle T}$초마다 파란색 플래시를 보내고, 밥은 이 시계로 모든 A B T ${\displaystyle k_{AB}$를 받는다.Bob의 $시계로$T}초, Ed는 모든 k A E T ${\displaystyle k_{$를 받는다.$AE}T}$초, Ed의 시계로.

이제 밥이 앨리스로부터 파란 플래시를 받을 때마다, 그는 즉시 자신의 빨간 플래시를 에드를 향해 보내는데, 한 번씩은 A B T ${\displaystyle k_{AB}$밥의 시계로 $T}$초씩, 그래서 Ed는 Ed의 시계로 매 k B E (k A B T) ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$초마다 Bob으로부터 빨간 플래시를 받는다.빛의 속도가 그 근원의 움직임과 무관하다는 아인슈타인의 두 번째 가정은 앨리스의 블루 플래시와 밥의 레드 플래시는 둘 다 다른 것을 추월하지 않고 같은 속도로 이동하며 따라서 에드에게 동시에 도착한다는 것을 암시한다.따라서 Ed에서 측정한 적색 플래시 간격 k B E(k A B T) ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ 및 청색 플래시 간격 k E T{\$displaystyle k_{{}{}}}}.$$AE}T}$은(는) 동일해야 한다.따라서 k-요소를 조합하는 규칙은 단순히 곱하기입니다:^[17]

${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.}$

마지막으로, 대체

${\displaystyle k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{B}}}}}},\\sqrt {\frac {1+v_{B}E}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{{}}}}AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}$

속도 구성 공식^[17] 제공

${\displaystyle v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}{1+v_{{AB}v_{BE}/c^{2}}.}$

불변 간격

Using the radar method described previously, inertial observer Alice assigns coordinates ${\displaystyle (t_{A},x_{A})}$ to an event by transmitting a radar pulse at time ${\displaystyle t_{A}-x_{A}/c}$ and receiving its echo at time ${\displaystyle t_{A}+x_{A}/c$그녀의 시계에 의해 측정된 }.

Similarly, inertial observer Bob can assign coordinates ${\displaystyle (t_{B},x_{B})}$ to the same event by transmitting a radar pulse at time ${\displaystyle t_{B}-x_{B}/c}$ and receiving its echo at time ${\displaystyle t_{B}+x_{B}/c}$, as measured by his clock. 그러나 도표에서 알 수 있듯이 밥이 앨리스의 신호에서 단순히 타이밍을 대신 가져갈 수 있기 때문에 자신의 레이더 신호를 생성할 필요는 없다.

이제 앨리스에서 밥으로 이동하는 신호에 k-미적분법을 적용하라.

${\displaystyle k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}.}$

마찬가지로, 밥에서 앨리스로 이동하는 신호에 k-미적분법을 적용한다.

${\displaystyle k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.}$

k ${\displaystyle k}$에 대한 두 식을 동일화하고 재배열하는 중,^[18]

${\displaystyle c^{2}t_{{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.}$

이로써 수량 c 2 t 2 -x 2 ${\$ c$^{$2}$t^{$2}$t^{2$}-$x^{2}}$은 불변량임을 확인하게 된다: 모든 관성 좌표계에서 동일한 값을 취하며 불변량 구간으로 알려져 있다.

로렌츠 변환

이전 섹션의 k ${\displaystyle k}$에 대한 두 방정식은 다음을 얻기 위한 동시 방정식으로 해결할 수 있다.^[18][19]

${\displaystyle ct_{B}={\tfrac {1}{1}{2}}(k+k^{-1}ct_{{{}}A}-{\tfrac {1}{1}:{2}}(k-k^{-1}x_{{{}}A}$

${\displaystyle x_{B}={\tfrac {1}{1}:{2}}(k+k^{-1}x_{{}}}A}-{\tfrac {1}{1}{2}}(k-k^{-1}ct_{{{}}A}$

이러한 방정식은 속도 대신 본디 k-요인 단위로 표현되는 로렌츠 변환이다.대체하여

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}},}$

보다 전통적인 형태

${\displaystyle t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{{}}A}/c^{2}}:{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{{}}}}}{{\sqrt.A}{{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}$

얻어지다^[18][19]

신속성

rapidity $\$ {\$displaystyle \varphi$}은(는^[20]) k-factor에서 다음을 기준으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \varphi =\log _{e}k,\,k=e^{\varphi }}$

등등

${\displaystyle v=c{\frac {k-k^{-1}{k+k^{-1}=c\tanh \varphi .}$

로렌츠 변환의 k-factor 버전은

${\displaystyle ct_{B}=ct_{{A}\cosh \varphi -x_{A}\sinh \varphi }$

${\displaystyle x_{B}=x_{A}\cosh \varphi -ct_{A}\sinh \varphi }$

k ${\displaystyle$ k}, k A E= k A B K E ${\$에 대한 구성 규칙에서 따옴$AE}=k_{AB}k_{{{$$BE$ 속도에 대한 구성 규칙은 다음과 같다.^[20]

$\displaystyle \varphi _{AE}=\varphi _{AB}+\varphi _{BE}.}$

참조

외부 링크

• 본디 k-미적분학 검토