Formula lui Moivre

Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:

$\cos x={\frac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\frac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n},$

pe care a reușit să o demonstreze pentru orice $n\in \mathbb {N} .$

Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:

$(\cos x+i\sin x)^{n}=r^{n}(\cos nx+i\sin nx),r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},a=cosx,b=sinx$     (formula lui Moivre)

Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.

Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel în cazul inițial pentru $n=1$ formula este verificată.

Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru $n=k$ adică:

$(\cos x+i\sin x)^{k}=r^{k}(\cos kx+i\sin kx),a=cosx,b=sinx$

și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru $n=k+1.$

Într-adevăr, $(\cos x+i\sin x)^{k+1}=(\cos x+i\sin x)^{k}\cdot (\cos x+i\sin x)=(\cos kx+i\sin kx)\cdot (\cos x+i\sin x)=$

$=(\cos kx\cdot \cos x-\sin kx\cdot \sin x)+i(\sin kx\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos kx)=\cos(k+1)x+i\sin(k+1)x.$

Cazul puterii cu exponent rațional

Formula lui Moivre este valabilă și pentru $n\in \mathbb {Z} .$ întreg negativ. Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar ${\frac {1}{n}}$ și se ia $x=2k\pi ,$ se obține:

$1^{1/n}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},$

care are n valori diferite când k parcurge mulțimea $\{0,1,2,\cdots ,n-1\}.$ Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.