La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real )
x
{\displaystyle x}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
(
cos
(
x
)
+
i
sen
(
x
)
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sen
(
n
x
)
{\displaystyle (\cos(x)+i\operatorname {sen}(x))^{n}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)}
Esta fórmula conecta los números complejos (i significa unidad imaginaria ) con la trigonometría .
La expresión
cos
x
+
i
sen
x
{\displaystyle \cos x+i\operatorname {sen} x}
cis
x
{\displaystyle \operatorname {cis} x}
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para
cos
(
n
x
)
{\displaystyle \cos(nx)}
sen
(
n
x
)
{\displaystyle \operatorname {sen}(nx)}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sen
x
{\displaystyle \operatorname {sen} x}
n
{\displaystyle n}
raíz de la unidad , eso es, números complejos
z
{\displaystyle z}
z
n
=
1
{\displaystyle z^{n}=1}
Sello con la efigie de Euler La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum [ 1] Euler , que la demuestra[ 2]
n
{\displaystyle n}
Abraham de Moivre varias veces desde 1707,[ 3]
n
{\displaystyle n}
(cos x + i sin x )n nx ) + i sin(nx ) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx ) + i sin(nx ) .
[ editar ] La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler :
e
i
x
=
cos
x
+
i
sen
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}
aplicando leyes de la exponenciación
(
e
i
x
)
n
=
e
i
n
x
{\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}
Entonces, por la fórmula de Euler ,
e
i
(
n
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sen
(
n
x
)
{\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)}
Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler :
e
i
x
=
cos
x
+
i
sen
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}
si hacemos
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
identidad de Euler :
e
i
π
=
cos
π
+
i
sin
π
=
−
1
+
0
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+0\\&=-1\end{aligned}}}
Es decir:
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}
Además como tenemos estas dos igualdades:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sen
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sen
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\operatorname {sen} x}
podemos deducir lo siguiente:
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
sen
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\operatorname {sen} x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\end{aligned}}}
[ editar ] Consideramos tres casos.
Para un entero
n
>
0
{\displaystyle n>0}
inducción matemática . Cuando
n
=
1
{\displaystyle n=1}
k
{\displaystyle k}
(
cos
x
+
i
sen
x
)
k
=
cos
(
k
x
)
+
i
sen
(
k
x
)
{\displaystyle \left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}=\cos(kx)+i\operatorname {sen}(kx)}
Ahora, considerando el caso
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
(
cos
x
+
i
sen
x
)
k
+
1
=
(
cos
x
+
i
sen
x
)
k
(
cos
x
+
i
sen
x
)
=
[
cos
(
k
x
)
+
i
sen
(
k
x
)
]
(
cos
x
+
i
sen
x
)
por la hipótesis de inducción
=
cos
(
k
x
)
cos
x
−
sen
(
k
x
)
sen
x
+
i
[
cos
(
k
x
)
sen
x
+
sen
(
k
x
)
cos
x
]
=
cos
[
(
k
+
1
)
x
]
+
i
sen
[
(
k
+
1
)
x
]
por las identidades trigonométricas
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\operatorname {sen} \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\operatorname {sen} \left(kx\right)\operatorname {sen} x+i\left[\cos \left(kx\right)\operatorname {sen} x+\operatorname {sen} \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\operatorname {sen} \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{aligned}}}
Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k . Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n ≥1.
Cuando
n
=
0
{\displaystyle n=0}
cos
(
0
x
)
+
i
sen
(
0
x
)
=
1
+
i
0
=
1
{\displaystyle \cos(0x)+i\operatorname {sen}(0x)=1+i0=1}
z
0
=
1
{\displaystyle z^{0}=1}
Cuando
n
<
0
{\displaystyle n<0}
m
{\displaystyle m}
n
=
−
m
{\displaystyle n=-m}
(
cos
x
+
i
sen
x
)
n
=
(
cos
x
+
i
sen
x
)
−
m
=
1
(
cos
x
+
i
sen
x
)
m
=
1
(
cos
m
x
+
i
sen
m
x
)
=
cos
(
m
x
)
−
i
sen
(
m
x
)
=
cos
(
−
m
x
)
+
i
sen
(
−
m
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sen
(
n
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\operatorname {sen} mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\operatorname {sen} \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\operatorname {sen} \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\operatorname {sen} \left(nx\right).\end{aligned}}}
Por lo tanto el teorema es verdadero para todo
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
z y w son números complejos, entonces
(
cos
z
+
i
sen
z
)
w
{\displaystyle \left(\cos z+i\operatorname {sen} z\right)^{w}}
es una función multivaluada mientras
cos
(
w
z
)
+
i
sen
(
w
z
)
{\displaystyle \cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)}
no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:
cos
(
w
z
)
+
i
sen
(
w
z
)
{\displaystyle \cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)}
(
cos
z
+
i
sin
z
)
w
{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}
Raíces cúbicas de la unidad. Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.
z
=
r
(
cos
x
+
i
sen
x
)
{\displaystyle z=r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)}
Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo
r
{\displaystyle r}
Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:
z
n
=
[
|
z
|
(
cos
(
x
)
+
i
sen
(
x
)
)
]
n
=
|
z
|
n
[
cos
(
n
x
)
+
i
sen
(
n
x
)
]
{\displaystyle z^{n}=\left[|z|\left(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x)\right)\right]^{n}=|z|^{n}\left[\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)\right]}
Para obtener las
n
{\displaystyle n}
z
1
/
n
=
[
r
(
cos
x
+
i
sen
x
)
]
1
/
n
=
r
1
/
n
[
cos
(
x
+
2
k
π
n
)
+
i
sen
(
x
+
2
k
π
n
)
]
{\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\operatorname {sen} \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}
donde
k
{\displaystyle k}
0
{\displaystyle 0}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
{\displaystyle n}
z
{\displaystyle z}
↑ Leonhard Euler , Introductio in analysin infinitorum , vol. 1↑ Énoncée plus que démontrée selon Flament, 2003 , p. 61.
↑ Desde 1707, en los Philosophical Transactions , n.º 309, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la 3e , 5e , 7e puissance et des puissances supérieures (previsualización Google Libros ), después en 1730 en sus Miscellanea Analytica , Londres, p. 1-2 y en las Philosophical Transactions de 1738, n.º 451, problema III (previsualización Google Libros ).
.jpg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\operatorname {sen} \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\operatorname {sen} \left(kx\right)\operatorname {sen} x+i\left[\cos \left(kx\right)\operatorname {sen} x+\operatorname {sen} \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\operatorname {sen} \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1049e8c939ec60cbdb62886be0a32c139d9bb2f)
La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces
![{\displaystyle z^{n}=\left[|z|\left(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x)\right)\right]^{n}=|z|^{n}\left[\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dacf52f8f1d1136fe2a8ec81ed61d1ac41cd4f92)
![{\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\operatorname {sen} \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5df7cd94ce02b7bd7918d0e2f16b8ad822150d3)
Datos: Q190556