Twierdzenie Darboux

Twierdzenie Darboux, twierdzenie o wartości pośredniej – twierdzenie analizy rzeczywistej mówiące, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym ma własność Darboux, tj. przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami jego krańców. Stąd inna nazwa twierdzenia: twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich.

Twierdzenie jest nazwane od Jeana Darboux; wiążą się z nim również nazwiska Bernarda Bolzana i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

Twierdzenie

Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Jeżeli $f(a)\cdot f(b)<0$ (tzn. wartości funkcji $f$ na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt $c$ w przedziale $(a,b),$ dla którego

$f(c)=0.$

Ogólniej: każda funkcja ciągła $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ma własność Darboux, tzn. jeśli $d$ spełnia jedną z nierówności $f(a)<d<f(b)$ lub $f(a)>d>f(b),$ to istnieje taki punkt $c$ w przedziale $[a,b],$ dla którego

$f(c)=d.$

Oba sformułowania są równoważne: funkcje $f$ w obu z nich różnią się jedynie o stałą $d.$

Dowody

Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości

Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} .$ Bez straty ogólności można założyć, że $d$ jest liczbą z przedziału otwartego $(f(a),f(b)).$

Niech

$A=\{x\in [a,b]\colon f(x)\leqslant d\}=f^{-1}[(-\infty ,d]],$

$A^{c}=\{x\in [a,b]\colon f(x)>d\}=f^{-1}[(d,+\infty )].$

Wówczas zbiory $A$ i $A^{c}$ są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest $b$ więc istnieje na mocy aksjomatu ciągłości $s=\sup A.$ Dla danych $T\subseteq \mathbb {R} ,p_{0}\in T$ oraz $r>0$ oznaczmy

$B_{T}(p_{0};r)=\{p\in T:|p-p_{0}|<r\}.$

Wykażemy, że $f(s)=d.$ Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów $A$ i $A^{c}$ spełnione są następujące ciągi implikacji:

$f(s)<d\Rightarrow (s\neq b)\,\land \,\exists _{\delta >0}\;(B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);d-f(s))]\subseteq A)\,\land \,(s+\delta <b),$

czyli:

$\exists _{\delta >0}\ (s,s+\delta )\cap A\neq \emptyset \Rightarrow \sup A\neq s,$

w innym przypadku:

$f(s)>d\Rightarrow \exists _{\delta >0}\;B_{[a,b]}(s;\delta )\subseteq f^{-1}[B_{\mathbb {R} }(f(s);f(s)-d)]\subseteq A^{c}\Rightarrow \exists _{\delta >0}\ A\cap (s-\delta ,s]=\emptyset \Rightarrow \sup A\neq s.$

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby $f(s)\neq d.$

Analityczny z definicji Heinego ciągłości

Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ będzie funkcją oraz niech $d$ będzie liczbą z przedziału otwartego $(f(a),f(b)).$ Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi $(a_{n})_{n=0}^{\infty },$ $(b_{n})_{n=0}^{\infty },$ $(c_{n})_{n=0}^{\infty }{:}$

• $a_{0}=a,b_{0}=b,c_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{0}+b_{0}),$
• jeśli $f(c_{n})=d,$ to koniec dowodu,
  jeśli $f(c_{n})>d,$ to $a_{n+1}=a_{n},$ $b_{n+1}=c_{n},$
  jeśli $f(c_{n})<d,$ to $a_{n+1}=c_{n},$ $b_{n+1}=b_{n}$
  $c_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(a_{n+1}+b_{n+1}).$

Tak zdefiniowane ciągi $(a_{n}),\ (b_{n})$ mają następujące własności:

1. $a_{n}\leqslant a_{n+1}<b_{n+1}\leqslant b_{n},$
2. $b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {1}{2}}(b_{n}-a_{n}).$
3. $f(a_{n})\leqslant d\leqslant f(b_{n}),$

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi $(a_{n}),\ (b_{n})$ jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

$c=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}.$

Na podstawie ciągłości funkcji $f(x)$ ciągi $f(a_{n}),\ f(b_{n})$ są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

$\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(c)=\lim _{n\to \infty }f(b_{n}).$

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

$\lim _{n\to \infty }f(a_{n})\leqslant d\leqslant \lim _{n\to \infty }f(b_{n}).$

Stąd

$f(c)=d.$

Topologiczny

Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ będzie funkcją oraz niech $d$ będzie liczbą z przedziału otwartego $(f(a),f(b)).$ Przypuśćmy, że $d$ nie jest wartością funkcji $f.$ Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej $\mathbb {R} \setminus \{d\}$ powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział $[a,b]$), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że $d$ nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja $sgn(x)={\frac {x}{|x|}}$ określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera $(x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})$.

Bibliografia

• Izydor Dziubiński, Tadeusz Świątkowski: Poradnik matematyczny Część 2. Wyd. IV. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukwoe, 1985. ISBN 83-01-04121-8.
  • Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru.
• Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1976. ISBN 83-01-02846-7.
  • Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw. II.17.
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-02846-7.
  • Rozdział 4. Ciągłość. Ciągłość i spójność, Tw. 4.22.

Literatura dodatkowa

• Kazimierz Kuratowski: Wykłady rachunku różniczkowego i całkowego. Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk, 1948, s. 83–84, seria: Monografie Matematyczne.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna. T. 1. Cz. 1: Ciągi szeregi i funkcje. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 170–171. ISBN 978-83-232-1049-8.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Intermediate Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-26].