Przeciwobraz

Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Dalej $f\colon X\to Y$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru $X$ w zbiór $Y.$ Przeciwobrazem zbioru $B\subseteq Y$ względem $f$ nazywa się podzbiór zbioru $X$ określony wzorem

$f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.$

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem $\textstyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}\textstyle ]$ lub $f^{-1}[y],$ nazywa się włóknem nad $y$ lub poziomicą lub warstwicą $y.$

Zbiór wszystkich włókien nad elementami $Y$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez $Y.$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to $f^{-1}[B]$ można oznaczać symbolem $f^{-1}(B)$ i myśleć o $f^{-1}$ jako o funkcji ze zbioru potęgowego $Y$ w zbiór potęgowy $X.$ Oznaczenie $f^{-1}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Przykłady

• $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$

  Włóknami (poziomicami) $f^{-1}[a]$ są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru $a,$ odpowiednio: $a>0,$ $a=0$ oraz $a<0.$

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Przeciwobraz zbioru w odwzorowaniu, kanał Khan Academy na YouTube, 10 sierpnia 2016 [dostęp 2024-07-25].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pre-Image, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Fibre na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.