Pochodna Diniego

Pochodne Diniego – klasa uogólnień zwykłej pochodnej.

Definicja formalna

Górna pochodna Diniego, nazywana też górną pochodną prawostronną, funkcji ciągłej $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ oznaczana symbolem $f'_{+}$ jest zdefiniowana jako

$f'_{+}(t):=\limsup _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},$

gdzie $\limsup$ oznacza granicę górną. Dolna pochodna Diniego, oznaczana $f'_{-},$ jest zdefiniowana wzorem

$f'_{-}(t):=\liminf _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},$

gdzie $\liminf$ jest granicą dolną.

Jeżeli $f$ jest określona na przestrzeni liniowej, to górną pochodną Diniego w punkcie $t$ w kierunku $d$ definiuje się wzorem

$f'_{+}(t,d):=\limsup _{h\to 0_{+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.$

Jeżeli $f$ jest lokalnie lipschitzowska, to $f'_{+}$ jest skończona. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $t,$ to pochodna Diniego w $t$ pokrywa się ze zwykłą pochodną w tym punkcie.

Uwagi

Czasem, zamiast $f'_{+}(t),\;f'_{-}(t)$ stosuje się odpowiednio zapisy $\operatorname {D} ^{+}f(t),\;\operatorname {D} _{-}f(t)$. Ponadto

$\operatorname {D} ^{-}f(t):=\limsup _{h\to 0_{-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

oraz

$\operatorname {D} _{-}f(t):=\liminf _{h\to 0_{-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.$

W ten sposób w notacji z $\operatorname {D}$ znak (minus/plus) mówi o tym, czy brana jest granica lewo-, czy prawostronna, zaś jego położenie mówi o jej rodzaju (dolna/górna). Każda z pochodnych Diniego zawsze istnieje w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych; mogą jednak czasem przyjmować wartości $+\infty$ lub $-\infty$ (tzn. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym).

Zobacz też

• Ulisse Dini

Bibliografia

• T.P. Lukashenko: Dini derivative. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.). Brak numerów stron w książce
• H.L. Royden: Real analysis. Wyd. II. MacMillan, 1968. ISBN 978-0-02-404150-0. Brak numerów stron w książce

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Pochodna Diniego na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.