Dzielnik

Relacja podzielności wprowadza częściowy porządek w zbiorze liczb naturalnych; można go przedstawić przez diagram Hassego.

Dzielnik – dwuznaczne pojęcie arytmetyczne:

• drugi, prawy argument dzielenia – jeśli $a:b=q,$ to $a$ nazywa się dzielną, $b$ – dzielnikiem, a $q$ – ilorazem. Tak rozumiany dzielnik odpowiada mianownikowi ułamka;

• liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą. To, że liczba $a$ dzieli liczbę $b$ oznacza, że iloraz $b:a$ jest całkowity; zapisuje się to: $a|b.$ Formalnie:

$a|b\Leftrightarrow b:a\in \mathbb {Z} .$

Innymi słowy druga z tych liczb jest iloczynem tej pierwszej i jakiejś innej całkowitej:

$a|b\Leftrightarrow \exists q\in \mathbb {Z} :b=qa.$

Dzielnik liczby to każda liczba, której wielokrotnością jest ta zadana; relacja bycia dzielnikiem – czyli podzielność – to relacja odwrotna do bycia wielokrotnością. Ta definicja jest nieco szersza – dzielenie przez zero nie jest określone, przez co zero nie może być dzielnikiem w pierwszym znaczeniu; z drugiej strony zero ma wielokrotność – równą jemu samemu, przez co w dalszej części artykułu przyjęto, że zero dzieli samo siebie $(0|0).$

Relacja podzielności to jeden z fundamentów arytmetyki, zarówno elementarnej, jak i teoretycznej, czyli teorii liczb. Przez podzielność definiuje się:

• podstawowe typy liczb naturalnych jak liczba parzysta, pierwsza czy złożona;
• działania jak największy wspólny dzielnik (NWD);
• inne relacje jak względna pierwszość i przystawanie (kongruencja).

O podzielności liczb mówią niektóre twierdzenia jak lemat Euklidesa. Pojęcie dzielnika wprowadza się też w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych jak półgrupy, zwłaszcza pierścienie.

Przykłady i odmiany

Liczby dodatnich dzielników kolejnych liczb naturalnych – ciąg ten jest znany jako funkcja tau (τ).

Liczba $3$ dzieli liczbę $18,$ ponieważ $18=3\cdot 6.$ Poniższa tabela przedstawia podzielność jednocyfrowych liczb naturalnych – wypełnienie komórki oznacza, że liczba z początku wiersza (po lewej) dzieli liczbę z początku kolumny (na górze):

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	|
1	|	|	|	|	|	|	|	|	|	|
2	|		|		|		|		|
3	|			|			|			|
4	|				|				|
5	|					|
6	|						|
7	|							|
8	|								|
9	|									|

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Te dzielniki są znane jako trywialne, a pozostałe jako nietrywialne. Na przykład:

• liczba $10$ ma osiem dzielników: $\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\},$ przy czym cztery z nich $\{-10,-1,1,10\}$ są trywialne;
• jedynka (1) i liczby pierwsze mają wyłącznie trywialne dzielniki, za to zero (0) i liczby złożone mają też inne (nietrywialne).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja tau $(\tau );$ przykładowo $\tau (10)=4.$ Obok podano jej wykres dla argumentów nieprzekraczających 250.

Dzielnik właściwy liczby to każdy dodatni różny od niej samej; liczba $10$ ma trzy dzielniki właściwe $\{1,2,5\}.$ Liczby pierwsze można zdefiniować jako takie, które mają dokładnie jeden dzielnik właściwy: jedynkę.

Własności

Podzielność jako praporządek

• Wspomniany fakt, że każda liczba dzieli siebie samą, nazywa się zwrotnością podzielności.
• Podzielność jest przechodnia – dzielnik dzielnika danej liczby też jest dzielnikiem tej liczby: $a|b\land b|c\Rightarrow a|c.$
• Relacje o tych dwóch cechach – zwrotne i przechodnie – nazywa się praporządkami.

Podzielność jako częściowy porządek

Krata dodatnich dzielników liczby 60.

• Liczby wzajemnie podzielne mają równy moduł (wartość bezwzględną) – są sobie równe lub przeciwne: $(a|b\land b|a)\Rightarrow (a=b\lor a=-b).$
• W szczególności oznacza to, że wzajemnie podzielne liczby naturalne są sobie równe; relacje o tej własności nazywa się antysymetrycznymi.
• Antysymetryczne praporządki są znane jako częściowe porządki, a zbiory z taką relacją – jak para $(\mathbb {N} ,|)$ – są nazywane posetami.
• Ten konkretny poset należy do krat, ponieważ dla każdej pary liczb naturalnych istnieją największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), pełniące role kresów – odpowiednio dolnego (infimum) i górnego (supremum).
• Zbiór dodatnich dzielników danej liczby też tworzy kratę. Obok podano diagram Hassego dzielników liczby 60.

Inne własności

• Dzielnik dwóch liczb jest też dzielnikiem ich sumy: $(a|b\land a|c)\Rightarrow a|(b+c).$ Co więcej, $a|(mb+nc)$ dla dowolnych liczb całkowitych $m$ oraz $n$. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: $2|(3+3),$ ale dwójka nie dzieli żadnego z tych składników.
• Istnieją sposoby, żeby sprawdzić podzielność dwóch liczb bez całej procedury dzielenia z resztą. Metody te opierają się na cechach podzielności – warunkach równoważnych tej własności; przykładowo dla sprawdzenia podzielności przez 3 i 9 wystarczy znać sumę cyfr liczby w zapisie dziesiętnym.

Uogólnienia

Podwielokrotnością liczby $n$ nazywa się każdą taką liczbę $a,$ dla której $n:a$ jest liczbą naturalną, w ten sposób $n$ jest wielokrotnością $a.$ W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

• iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się $b\neq 0$ (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
• dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek $b>0,$ dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Definicję dzielnika można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych $0$ jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Relacja stowarzyszenia

Jeżeli $x|y$ i $y|x,$ to elementy $x$ oraz $y$ nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

$x\sim y\iff x|y\land y|x$

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

$x\sim y\iff x=cy,$

gdzie $c$ jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli $x|y,$ to dla dowolnej liczby $w$ takiej, że $w\sim x$ zachodzi również $w|y.$ Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie $1$ oraz $-1$). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu $x,$ który jest równocześnie dzielnikiem $y$ nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Zobacz też

• czynnik pierwszy
• liczby doskonałe

Bibliografia

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Z języka angielskiego przełożyli Piotr Chrząstowski, Artur Czumaj, Leszek Gąsieniec, Marek Raczunas. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.

Literatura dodatkowa

• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2003, s. 121. ISBN 83-7469-189-1.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974. Brak numerów stron w książce