−1

−1
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
dwójkowo	…11
ósemkowo	…77
szesnastkowo	…FF

−1 (minus jeden) – liczba całkowita poprzedzająca 0 i przeciwna do 1.

Jest to jeden ze składników tożsamości Eulera ponieważ

$e^{i\pi }=-1$

W informatyce wartość −1 jest powszechnie stosowaną wartością początkową dla zmiennych całkowitych, jak również służy do wskazywania, że zmienna nie zawiera jeszcze żadnych użytecznych informacji.

Własności algebraiczne

Mnożenie przez −1 jest równoważne zmianie znaku liczby. Można to udowodnić korzystając z prawa rozdzielności i aksjomatu, że 1 jest elementem neutralnym mnożenia: dla danej liczby rzeczywistej zachodzi

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

stąd wynika, że (−1) · x jest liczbą przeciwną do x, czyli −x.

Kwadrat liczby -1

Kwadrat liczby −1, tj. −1 razy −1 równa się 1. Wynika stąd, że iloczyn ujemnych liczb rzeczywistych jest dodatni.

Algebraiczny dowód rozpoczyna równanie

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

Druga równość pochodzi z definicji, że −1 jest liczbą przeciwną do 1. Korzystając z prawa rozdzielności otrzymujemy

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

Druga równość jest konsekwencją faktu, że 1 jest elementem neutralnym mnożenia. Po dodaniu 1 do obu stron równości wynika, że

$(-1)\cdot (-1)=1$

Powyższa równość zachodzi w każdym pierścieniu.

Pierwiastek kwadratowy z liczby −1

Liczba zespolona i spełnia i² = −1, i jest ona traktowana jako pierwiastek kwadratowy z liczby −1. Jedyną inna liczbą zespoloną x spełniającą równanie x² = −1 jest −i. W algebrze kwaternionów, zawierającej płaszczyznę zespoloną, równianie x² = −1 ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Potęgowanie do liczby ujemnej

Potęgowanie liczby rzeczywistej różnej od zera można rozszerzyć na liczby ujemne. Definiuje się że

$x^{-1}={\frac {1}{x}}$

co oznacza, że podnoszenie do potęgi −1 jest równoważne znalezieniu liczby odwrotnej. Następnie definicję tę rozszerza się na pozostałe liczby ujemne korzystając z reguły

$x^{a}x^{b}=x^{(a+b)}$

gdzie a i b to dowolne różne od zera liczby rzeczywiste.

Potęgowanie do liczby ujemnej można rozszerzyć na odwracalne elementy pierścienia, przez zdefiniowanie x⁻¹ jako elementu odwrotnego do x.

Zapis cyfrowy

Są różne metody kodowania wartości −1 (a w ogólności liczb ujemnych) w technice cyfrowej. Najbardziej powszechnym jest kod uzupełnień do dwóch. Ponieważ zapis ten może również oznaczać dodatnią liczbę w standardowym zapisie binarnym, należy uważać aby ich nie pomylić. Minus jeden w kodzie uzupełnień do dwóch jest identyczne z dodatnią liczbą 2ⁿ − 1, gdzie n jest liczbą bitów jaka jest wykorzystywana do zapisu wartości. Na przykład 11111111₂ (dwójkowo) i FF₁₆ (szesnastkowo) w kodzie uzupełnień do dwóch oznacza −1, ale również 255 w zapisie standardowym.