如何划分一个跟测试集更接近的验证集？

不管是打比赛、做实验还是搞工程，我们经常会遇到训练集与测试集分布不一致的情况。一般来说我们会从训练集中划分出来一个验证集，通过这个验证集来调整一些超参数（参考《训练集、验证集和测试集的意义》），比如控制模型的训练轮数以防止过拟合。然而，如果验证集本身跟测试集差别比较大，那么验证集上很好的模型也不代表在测试集上很好，因此如何让划分出来验证集跟测试集的分布差异更小一些，是一个值得研究的题目。

两种情况 #

首先，明确一下，本文所考虑的，是能给拿到测试集数据本身、但不知道测试集标签的场景。如果是那种提交模型封闭评测的场景，我们完全看不到测试集的，那就没什么办法了。为什么会出现测试集跟训练集分布不一致的现象呢？主要有两种情况。

第一种是标签的分布不一致。也就是说，如果只看输入$x$，那么分布基本上是差不多的，但是对应的$y$分布不一样，典型的例子就是信息抽取任务，训练集往往是通过“远程监督 + 人工粗标”的方式构建的，量很大，但是里边可能错漏比较多，而测试集可能是通过“人工反复精标”构建的，错漏很少。这种情况下就无法通过划分数据的方式构建一个更好的验证集了。

第二种是输入的分布不一致。说白了就是$x$的分布不一致，但是$y$的标注情况基本上是正确的。比如分类问题中，训练集的类别分布跟测试集的类别分布可能不一样；又或者在阅读理解问题中，训练集的事实类/非事实类题型比例跟测试集不一样，等等。这种情况下我们可以适当调整采样策略，使得验证集跟测试集分布更一致些，从而验证集的结果能够更好反映测试集的结果。

判别器 #

为了达到我们的目的，我们让训练集的标签为0，测试集的标签为1，训练一个二分类判别器$D(x)$：
\begin{equation}-\mathbb{E}_{x\sim p(x)}[\log (1 - D(x))] - \mathbb{E}_{x\sim q(x)}[\log D(x)]\end{equation}
其中$p(x)$代表了训练集的分布，$q(x)$则是测试集的分布。要注意的是，我们不是要将训练集和测试集直接混合起来采样训练，而是分别从训练集和测试集采样同样多的样本来组成每一个batch，也就是说需要过采样到类别均衡。

可能有读者担心过拟合问题，即判别器彻底地训练集和测试集分开了。事实上，在训练判别器的时候，我们应该也要像普通监督训练一样，划分个验证集出来，通过验证集决定训练的epoch数，这样就不会严重过拟合了；或者像网上有些案例一样，直接用逻辑回归做判别器，因为逻辑回归足够简单，过拟合风险也更小了。

跟GAN的判别器类似，不难推导$D(x)$的理论最优解是
\begin{equation}D(x) = \frac{q(x)}{p(x)+q(x)}\label{eq:d}\end{equation}
也就是说，判别器训练完后，可以认为它就等于测试集分布的相对大小。

重要性采样 #

优化模型也好，算指标也好，其实我们是希望在测试集上进行，也就是说，对于给定目标$f(x)$（比如模型的loss），我们希望算的是
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim q(x)}[f(x)] = \int q(x) f(x) dx\end{equation}
但是要算目标$f(x)$通常要知道$x$的真实标签，但对于测试集来说我们不知道它的标签，所以不能直接算。不过我们知道训练集的标签，于是我们可以解决它来做重要性采样：
\begin{equation}\int q(x) f(x) dx=\int p(x)\frac{q(x)}{p(x)} f(x) dx=\mathbb{E}_{x\sim p(x)}\left[\frac{q(x)}{p(x)} f(x)\right]\end{equation}
根据公式$\eqref{eq:d}$，我们知道$\frac{q(x)}{p(x)}=\frac{D(x)}{1-D(x)}$，所以最终变成
\begin{equation}\mathbb{E}_{x\sim q(x)}[f(x)] = \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\left[\frac{D(x)}{1-D(x)} f(x)\right]\label{eq:w}\end{equation}
说白了，重要性采样的思想就是从训练集里边“挑出”那些跟测试集相近的样本，赋予更高的权重。

最终策略 #

从公式$\eqref{eq:w}$，我们可以得到两个策略：

第一是直接按照公式加权，也就是说，还是按随机打乱的方式划分训练集和验证集，但是给每个样本配上权重$w(x)=\frac{D(x)}{1-D(x)}$。值得指出的是，类似的做法有些选手做比赛时已经用过了，只不过流传的权重是$D(x)$，当然哪个好我没法断言，只是从理论推导的角度来看应该是$\frac{D(x)}{1-D(x)}$更加合理一些。

另一个策略就是实际地把对应的验证集采样出来。这也不难，假设训练集的所有样本为$x_1,x_2,\dots,x_N$，我们把权重归一化
\begin{equation}p_i = \frac{w(x_i)}{\sum\limits_{i=1}^N w(x_i)}\end{equation}
然后按照$p_1,p_2,\dots,p_N$为分布做独立重复采样，直到采样到指定数目即可。注意需要做有放回的独立重复采样，因此同一个样本可能被采样多次，在验证集里边也要保留多次，不能去重，去重后分布就不一致了。

文末小结 #

本文从训练判别器的角度来比较训练集和测试集的差异，并且结合重要性采样，我们可以得到一个跟测试集更接近的验证集，或者对训练样本进行加权，从而使得训练集的优化过程和测试集差异性更小。

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