这个星期对微分方程的认识
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 34561位读者 |这个星期研究了两道微分方程问题:“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解,也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录,权当抛砖引玉。
一、微分方程的本质
很多读者都知道,自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科,后来发展出许多出色的分支,如变分、微分方程等。众所周知,微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何?其实对于常微分方程而言,它的本质和我们已经学习过的代数方程一样,只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外,还多了两个相互关系:微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$,也许大家都认为它是一个二元方程,其实不然,这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组,我们可以将它写成
$$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$$
其中未知数分别是$x,y,dx,dy$,这里得注意一点:dx和dy虽然趋于零,但它们是一个变量而非定量(请查阅相关微积分严格分析的书籍)。也许你会奇怪我这样来描述究竟有什么好处?实际上,这样有助于我们降低对微分方程的神秘感(注意不是难度),同时在解微分方程组的时候有助于引导我们有方向地进行消元。了解此后,我们会有目的地使用通常的代数运算和微分来消去未知数,使其只剩下x和dx(或y和dy)。
二、微分的计算
这个星期我探讨了$\frac{d^2 y}{dx^2}$和$\frac{d^2 x}{dy^2}$的关系。令$\frac{dy}{dx}=P$,则$\frac{d^2 x}{dy^2}=\frac{d(1/P)}{dy}=-\frac{dP}{P^2 dy}=-\frac{dP dx}{P^2 dx dy}$
其中$\frac{dP}{dx}=\frac{d^2 y}{dx^2}$,所以$\frac{d^2 x}{dy^2}=-\frac{\frac{d^2 y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}$。化简后发现
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{d^2 y}{d^2 x}$$
也许读者觉得这个结论很不错,把高阶微分和一阶微分联系起来了。然而,虽然这个结论并没有错误,但它却是不严谨、甚至没有意义的。因为对于微分,我忽略了一个重要的问题:一般而言,$\frac{d^2 y}{dx^2}$中的$d^2 y$并不等于$\frac{d^2 y}{dt^2}$中的$d^2 y$。也就是说,即使对于同一个函数式,其二阶微分是不定的,要视自变量而定。那么上式的写法还有什么意义呢?
———————————BoJone于2010.11.03
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November 8th, 2010
我的挑笔误行为:第二框第一式应该把$dy$改为$dx$。
已经改正,谢谢指出!
May 15th, 2013
建议看一下麻省理工学院公开课:微分方程,第1讲就有关于一阶微分方程的几何意义的讲座。地址:https://v.163.com/special/opencourse/equations.html
他讲到,将y‘理解为斜率C,从0取值到正无穷,做出一系列曲线f(x,y)=C,并在每个点上做出斜率线来,斜率线也被称为方向场,或积分曲线,就是微分方程的解。
不过我并没有系统研究过微分方程的几何意义,仅供参考。
看到你的建议了,十分感谢,我会抽时间去看的。
其实我也没有研究过它的几何意义,微分方程我比较喜欢探索怎么求它的(近似)解析解...
August 22nd, 2013
即使对于同一个函数式,其二阶微分是不定的,要视自变量而定。那么上式的写法还有什么意义呢?
我有個想法可能幫到你/妳,
在微分幾何中我們可以明白做泰勒時,二階項會有度量(內積)出現,所以只談微分流形是無法得出二階量(好比微分的微分)的,一定要加上其他結構,如度量或連絡才成.
但我這樣說可能有語病,請小心使用XD