Inégalité de Jordan

${\frac {2}{\pi }}x\leqslant \sin(x)\leqslant x{\text{ pour }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

En mathématiques, l'inégalité de Jordan, du nom du mathématicien Camille Jordan, énonce que

${\frac {2}{\pi }}x\leqslant \sin x\leqslant x{\text{ pour }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].$

Cela peut être prouvé en utilisant la concavité de la fonction sinus dont la courbe est au-dessus de ses sécantes et en-dessous de ses tangentes, ou géométriquement comme ci-dessous.

Le cercle unité, et un cercle de rayon $EG=\sin x$ centré en E. ${\begin{aligned}&DE\leqslant {\overset {\frown }{DC}}\leqslant {\overset {\frown }{DG}}\\\Leftrightarrow &\sin x\leqslant x\leqslant {\tfrac {\pi }{2}}\sin x\\\Leftrightarrow &{\tfrac {2}{\pi }}x\leqslant \sin x\leqslant x\end{aligned}}$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jordan's inequality » (voir la liste des auteurs).

(en) Eric W. Weisstein, « Jordan's Inequality », sur MathWorld

Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, 2016, p. 308

Roger B. Nelsen, Preuves sans mots, L'inégalité de Jordan par Feng Yuefeng, Hermann, 2013, p. 153

Bibliographie

• Serge Colombo : Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, (ISBN 0677059507) , p.   167-168 ( copie en ligne )
• Da-Wei Niu, Jian Cao, Feng Qi: Généralisations de l'inégalité de Jordan et relations concernées [1] UPB Sci. Bull., Série A, Volume 72, Numéro 3, 2010, (ISSN 1223-7027)
• Feng Qi: l'inégalité de Jordan: raffinements, généralisations, applications et problèmes connexes [2] RGMIA Res Rep Coll (2006), Volume 9, Numéro: 3, Pages: 243–259
• Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality Journal of Inequalities and Applications, 2011: 130, doi: 10.1186 / 1029-242X-2011-130

Liens externes

• (en)Jordan's inequality sur Proof Wiki
• (en)Jordan's and Kober's inequalities sur cut-the-knot.org
• (en) Eric W. Weisstein, « Jordan's Inequality », sur MathWorld