V roce 1978 ho přivedl do Celticu manažer Jock Stein. Bonner působil v klubu 17 let a získal s ním pět ligových titulů (1979, 1981, 1982, 1986 a 1988). S irskou reprezentací se zúčastnil jako brankářská jednička mistrovství Evropy ve fotbale 1988, mistrovství světa ve fotbale 1990 a mistrovství světa ve fotbale 1994.[1] Národním hrdinou se stal při penaltovém rozstřelu v osmifinále MS 1990 proti Rumunsku, když zlikvidoval pokus Daniela Timofteho a pomohl svému týmu k historické účasti ve čtvrtfinále světového šampionátu.[3] Bonner jako praktikující katolík byl velmi poctěn, když mu k tomuto výkonu osobně gratuloval papež Jan Pavel II., který byl v mládí také gólmanem.[4]
