영상품 속성

대수학에서 0-제품 속성은 0이 아닌 두 원소의 산물이 0이 아니라고 명시한다.즉 다음과 같은 주장이다.

ab=0

=

ab=0

{\displaystyle ab=0

인 경우

a=0

=

a=0

a=0

b=0

b=0

= 0

{\displaystyle

b=

0

0제품 속성은 0제품의 법칙, null 인자 법칙, 0의 곱셈 속성, 0의 비독점성, 또는 2개의 0인자 속성 중 하나로도 알려져 있다.^[1]초등 수학에서 연구된 모든 수 체계 - $\mathbb {Z}$ Z ${\$ 합리적 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ $\mathbb {R}$ R ${\$ 복잡한 숫자 $\mathbb {C}$ ${\$ - $\mathbb {C}$ 0-product 속성을 만족한다.일반적으로 제로 제품 속성을 만족시키는 링을 도메인이라고 한다.

대수 컨텍스트

$A$ $A$ 이 $A$ (가) 대수 구조라고 가정해 보십시오. $우리$ 는 $A$ 가 $0-제품$ 속성을 $A$ 가지고 있는지 물어볼 수 있다 $.$ 이 질문이 의미를 가지려면 $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 이(가) 가법 구조와 승법 구조를 모두 가져야 한다 $A$ .^[2]보통은 $A$ $A$ 이(가) 다른 $A$ 것일 수 있지만, 보통 덧셈과 곱셈이 있는 $\{0,1,2,\ldots \}$ 비음수 $\{0,1,2,\ldots \}$ 정수 $\{0,1,2,\ldots \}$ $\{0,1,2,\ldots \}$ , $\{0,1,2,\ldots \}$ … $\{0,1,2,\ldots \}$ {\ $displaysty$ \{ $0,1,2,\ldots \}}$ 의 집합은 다른 것일 수 있지만, 보통은 (일반) 의미일 뿐이다.

$A$ $A$ 이(가) 제로 제품 속성을 충족하고 $A$ B $A$ 의 하위 집합인 $B$ 경우 $A$ $B$ ${\$ $displaystyle B}$ 도 $B$ 0 제품 속성을 충족한다는 점에 유의하십시오. 만약 {\ $displaystyle a}$ 및 $a$ $b$ ${\$ $displaystystyle$ B $}$ 이( $가$ $)$ 의 $B$ 요소인 $b$ 경우 $ab=0$ $b$ $ab=0$ = $ab=0$ ${\displaystyle ab$ $=$ $0$ $ab=0$ $a=0$ $a=0$ = 0 ${\$ $displaystyle$ a $=$ $0}$ 또는 $a=0$ $b=0$ = 0 ${\$ $displaystyle$ b $}$ 이 $A$ 가 $)$ $A$ 의 요소로 간주될 수 있기 $b$ 때문에 $b=0$ .

예

제로 제품 속성이 보유하는 링을 도메인이라고 한다.승수적 정체성 요소가 있는 정류 도메인을 통합 도메인이라고 한다.모든 필드는 필수 영역이며, 실제로 필드의 하위 링은 필수 영역(포함 1인 경우)이다.마찬가지로 스큐 필드의 모든 하위 문자열은 도메인이다.따라서 제로 제품 속성은 스큐 필드의 하위 링에 대해 유지된다.
$p$ $p$ 이 $p$ (가) 소수인 경우 정수 modulo $p$ $p$ 의 링은 0-제품 특성(사실상 필드)을 $p$ 갖는다.
가우스 정수는 복잡한 숫자의 하위 문자열이기 때문에 필수 영역이다.
쿼터니온의 엄밀히 말하면, 제로 제품 속성은 유지된다.이 반지는 곱셈이 서로 맞지 않기 때문에 일체형 영역이 아니다.
음이 아닌 정수 집합 $\{0,1,2,\ldots \}$ $\{0,1,2,\ldots \}$ , $\{0,1,2,\ldots \}$ , $\{0,1,2,\ldots \}$ ${\displaystyle$ \{ $0,1$ ,2 $,\ldots$ \}}}은(는) 링은 아니지만 $\{0,1,2,\ldots \}$ , 0-제품 속성을 만족시킨다.

비예시

$\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ ${\$ 은(는) 정수 modulo $n$ ${\displaystylen}$ 의 링을 나타내도록 $\mathbb {Z} _{n}$ 한다 $n$ 그러면 $\mathbb {Z} _{6}$ $\mathbb {Z} _{6}$ ${\$ 0은 $\mathbb {Z} _{6}$ 0이 아닌 원소 $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$ 와 3은 0이 아닌 원소 2 $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$ $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$ $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$ 0 $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$ $2\cdot 3\equiv 0{\pmod {6}}$ ) ${\$ 0 ${\pmod{6$
일반적으로 $n$ $n$ 이 $n$ (가) 복합수인 경우 $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ ${\$ 은(는) 0-제품 속성을 충족하지 않는다 $\mathbb {Z} _{n}$ .즉, $n=qm$ = $n=qm$ m ${\displaystyle n$ $=qm$ $},$ $0<q,m<n$ 서 $n=qm$ 0 $0<q,m<n$ < $0<q,m<n$ , $0<q,m<n$ $0<q,m<n$ $n$ $>,$ m $m$ $m$ 및 $q$ ${\displaystyle$ $q$ $}$ 이( $qm\equiv 0{\pmod {n}}$ ) 0이 아닌 $q$ modulo $n$ ${\$ $displaystystyle$ $qm\equiv 0{\pmod {n}}$ 그러나 $qm\equiv 0{\pmod {n}}$ qm $q$ 는 0 $({\pmod{n}$ 이다 $qm\equiv 0{\pmod {n}}$
정수 항목이 있는 2×2 행렬의 $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ 링 Z $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ $\mathbb {Z} ^{2\times 2}$ ${\$ 0-product 속성을 충족하지 않는 경우 $M={\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}$ 및 $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ = $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ ( 0 $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ ) $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ , $N={\begin{pmatrix}0&\\0&1\end{pmatrix},$ 그 다음 $N={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},$ $MN={\begin{pmatrix}1&-1\0&0\end{pmatrix}{pmatrix}{pmatrix}0&1\end{pmatrix}=0,$ $그러나$ M $M$ 이나 $M$ $N$ $N$ 은(는) 0이 아니다 $N$ .
단위 간격에서 실제 숫자에 이르기까지 $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ 모든 함수 $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ : $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ [ $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ → $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ ${\$ f $:[0,1]\to \mathb {R}}$ 의 링에는 비경쟁적인 영분위가 있다. 즉, 아직 0 함수가 0인 함수 쌍이 있다.사실, 어떤 n ≥ $f_{1},\ldots ,f_{n}$ 에 대해서도 함수 $f_{1},\ldots ,f_{n}$ $f_{1},\ldots ,f_{n}$ , $f_{1},\ldots ,f_{n}$ … , f $f_{1},\ldots ,f_{n}$ {\ $displaystyle f_{1},\ldots,f_{n$ 이 중 어느 것도 동일한 0이 아닌 $f_{i}\,f_{j}$ , f $f_{i}\,f_{j}$ $f_{i}\,f_{j}$ ${\$ 는 $i\neq j$ $i\neq j$ ${\displaystyle i\nq$ j $i\neq j$
지속적인 기능만 고려해도, 혹은 무한히 매끄러운 기능만 고려해도 마찬가지다.반면에 분석함수는 0-제품 특성을 가지고 있다.

다항식 루트 찾기 적용

Suppose $P$ and $Q$ are univariate polynomials with real coefficients, and $x$ is a real number such that $P(x)Q(x)=0$ . (Actually, we may allow the coefficients and $x$ to come from any integral domain.)By the zero-product property, it follows that either $P(x)=0$ or $Q(x)=0$ . In other words, the roots of $PQ$ are precisely the roots of $P$ together with the roots of $Q$ .

따라서 다항식의 뿌리를 찾기 위해 인자화를 이용할 수 있다.예를 들어 다항식 $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ 3 $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ - $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ - 5 $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ + $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ $(\displaystyle$ x $^{3}-2x^{2}-5x+6}$ 은 $(x-3)(x-1)(x+2)$ 는) ( x $(x-3)(x-1)(x+2)$ - $(x-3)(x-1)(x+2)$ ) $(x-3)(x-1)(x+2)$ ( x $(x-3)(x-1)(x+2)$ - $(x-3)(x-1)(x+2)$ ) $(x-3)(x-1)(x+2)$ ( $(x-3)(x-1)(x+2)$ + 2 $(x-3)(x-1)(x+2)$ ) ${\displaystyle (x-3)(x-1)(x+2$ 로 인수하므로 $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ 그 뿌리는 정확하게 3, 1, -2이다.

$f$ 으로 $R$ $R$ 이 $R$ (가) 통합 도메인이고 $f$ ${\displaystyle f$ $}$ 이 $f$ (가) R $R$ 에 계수가 있는 $d\geq 1$ degree $d\geq 1$ 의 $d\geq 1$ 단일 $d\geq 1$ 다항식 $다항식$ 이라고 가정하고 $,$ $R$ f ${\displaystystyle$ $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ $}$ 이(가) $d$ ${\d$ $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ , $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ , $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ ) 고유 $d$ 루트를 가지고 있다고 $f$ 가정하자. $r_{1},\ldots ,r_{d}\in R$ . It follows (but we do not prove here) that $f$ factorizes as $f(x)=(x-r_{1})\cdots (x-r_{d})$ . By the zero-product property, it follows that $r_{1},\ldots ,r_{d}$ $r_{1},\ldots ,r_{d}$ $f$ $f$ 의 유일한 루트 $f$ f $f$ 의 루트는 $일부$ i $i$ 에 $(x-r_{i})$ 대해 $(x-r_{i})$ ( $(x-r_{i})$ - $(x-r_{i})$ $(x-r_{i})$ ${\displaystyle($ $x-r_$ ${i})$ 의 루트가 되어야 $f$ 한다 $i$ 특히 $f$ ${\displaystystystyled}$ 의 $d$ 고유 $d$ 는 $f$ 최대 {d이다.

그러나 $R$ $R$ 이(가) 통합 도메인이 아닌 $R$ 경우에는 결론을 보류할 필요가 없다.예를 들어 입방 다항식 $x^{3}+3x^{2}+2x$ $x^{3}+3x^{2}+2x$ + $x^{3}+3x^{2}+2x$ $x^{3}+3x^{2}+2x$ 2 $x^{3}+3x^{2}+2x$ x $x^{3}+3x^{2}+2x$ $x^{3}+3x^{2}+2x$ ${\displaystyle$ x $^{3}+3x^{2}+2x}$ 는 $\mathbb {Z} _{6}$ $\mathbb {Z} _{6}$ ${\$ $\$ $mathb {Z} _{6}}$ 에 6개의 루트가 있다 $x^{3}+3x^{2}+2x$ ( $\mathbb {Z} _{6}$ $\mathbb {Z}$ ${\$ \ $mathb {Z}}}}}}}}}}}}).$

참고 항목

메모들

^ 다른 하나는 a⋅0 = 0⋅a = 0이다.무스타파 A.무넴과 데이비드 J. 파울리스, 대수학 및 응용 프로그램 트리오노메트리(New York: Worth Publishers, 1982), 페이지 4.
^ 0(첨가적 정체성)의 개념과 제품, 즉 곱셈의 개념이 있어야 한다.

참조

데이비드 S.더밋과 리차드 M.풋, 추상 대수학 (3d Ed.), 와일리, 2003, ISBN 0-471-43334-9.

외부 링크

PlanetMath: 0개의 제품 규칙

[1] 다른 하나는 a⋅0 = 0⋅a = 0이다.무스타파 A.무넴과 데이비드 J. 파울리스, 대수학 및 응용 프로그램 트리오노메트리(New York: Worth Publishers, 1982), 페이지 4.

[2] 0(첨가적 정체성)의 개념과 제품, 즉 곱셈의 개념이 있어야 한다.

[1]

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