단순한 연결 공간

위상학에서 위상 공간이 경로로 연결되어 있고 두 점 사이의 모든 경로가 문제의 두 끝점을 보존하면서 지속적으로 다른 경로로 변환될 수 있는 경우 위상 공간을 단순 연결(또는 1 연결 또는 1 단순 연결^[1])이라고 한다.위상 공간의 기본 그룹은 단순히 연결된 공간의 실패의 지표입니다. 경로로 연결된 위상 공간은 기본 그룹이 사소한 경우에만 단순하게 연결됩니다.

정의 및 동등한 공식화

이 셰이프는 단순히 연결되어 있지 않은 집합을 나타냅니다. 하나 이상의 구멍을 둘러싼 루프는 영역을 벗어나지 않고 한 점으로 축소할 수 없기 때문입니다.

위상 $공간$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 가 $X$ $X$ $f:S^{1}\to X$ 로 연결되어 있고 $f:S^{1}\to X$ F $:$ S 1 $f:S^{1}\to X$ X(\ $displaystyle$ f $:)$ 로 $X$ 된 X(\displaystyleX)의 루프가 있는 경우 단순 연결이라고 합니다. $S^{1}\to$ X $}$ 는 $f:S^{1}\to X$ 다음과 같은 점까지 축소할 수 $F:D^{2}\to X$ 연속 $F:D^{2}\to X$ $F:D^{2}\to X$ : D $F:D^{2}\to X$ X {\ $style$ F $:$ $({$ S $^{1})$ 로 $S^{1}$ $S^{1}$ 된 $F$ F({ $displaystyle$ F $})$ 가 $f.$ $S^{1}$ $D^{2}$ f $.({$ $displaystyle$ f.})가 $F:D^{2}\to X$ $D^{$ $2$ }\ $to$ X $)$ 는 $F:D^{2}\to X$ 유클리드 평면에서 각각 단위 원과 닫힌 단위 디스크를 나타낸다 $.$

$(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 패스에 연결되어 있는 경우에만 단순히 연결됩니다.p $p:[0,1]\to X$ : [ $p:[0,1]\to X$ , $p:[0,1]\to X$ ] $q:[0,1]\to X$ $(\displaystyle$ p : [ $0$ , $1$ ]) $q:[0,1]\to X$ q $q:[0,1]\to X$ : [ $q:[0,1]\to X$ , $q:[0,1]\to X$ ]→ $q:[0,1]\to X$ X(\ $displaystyle$ q : [ $0$ , $1$ ]\ $to$ X $)$ 가 $q:[0,1]\to X$ 2개의 패스로 시작하는 경우(같은 맵이 됩니다. $splaystyle$ p(0 $)$ $=q$ $(0)}$ 및 $p(0)=q(0)$ $p(1)=q(1)$ ( $p(1)=q(1)$ ) $p(1)=q(1)$ q $($ 입니다. $그러면$ 양쪽 엔드포인트를 고정하면서 p{\ $displaystyle$ p $}$ 를 $p$ q(\ $displaystyle$ p(1 $)$ 로 $q$ $q$ 으로 변형할 수 있습니다. $F$ $F(x,0)=p(x)$ ( $x$ , $F(x,0)=p(x)$ $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ ) $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ $F(x,0)=p(x)$ p ( $F(x,0)=p(x)$ ) ( $F(x,0)=p(x)$ ) $= F$ ( $x$ , $0$ ) = p $($ $x$ ) $F(x,1)=q(x).$ $F(x,1)=q(x).$ ( $F(x,1)=q(x).$ , 0 $)$ = $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ ( x ) $F(x,1)=q(x).$ f ( x , 1 ) $F(x,1)=q(x).$ displaydisplaydisplay $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ $F(x,1)=q(x).$ displaydisplaydisplay （ x , 1 $F(x,1)=q(x).$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ displaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $F(x,1)=q(x).$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $}$

위상 $X$ 는 $X$ X $($ 디스플레이 스타일 X $)$ 가 $X$ 경로로 연결되어 있고 각 점에서 X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 의 $X$ 기본 그룹이 사소한 경우( $예$ : ID 요소로만 구성됨)에만 단순하게 연결됩니다.마찬가지로 X $({displaystyle$ X $x,y\in X,$ 는 $X$ $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ X의 모든 $x,y\in X,$ x $x,y\in X,$ y $x,y\in X,$ X $,$ \ $displaystyle x,$ y $\in$ X $)$ 에 $x,y\in X,$ 대해 X의 기본 $X$ 의 $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ Hom $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ ( $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ ) ) ( $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ x $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ , $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ ) \ $displaystyle \operatorname {Hom$ } $_$ {\ $Pi ( X$ ) ( X , Y ) _ { \ $in$ X , Y ) _ { \ dis $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ } } }인 경우에만 단순히 연결됩니다.

복소해석: 오픈 $X\subseteq \mathbb {C}$ X $style$ C \ $displaystyle$ X \ $subseteq \ mathbb$ { C $}$ 는 $X\subseteq \mathbb {C}$ X\ $displaystyle$ X $X\subseteq \mathbb {C}$ 와 $X$ 리만 구내의 그 보수가 모두 $X$ 되어 있는 경우에만 간단히 연결됩니다.0보다 크고 1보다 작은 허수의 집합은 보수가 연결되지 않은 평면의 무한 연결 열린 부분 집합의 좋은 예를 제공한다.그럼에도 불구하고 그것은 단순하게 연결되어 있다.또한 X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ $연결$ 요건이 완화되면 확장된 보완 기능이 있는 평면의 열린 서브셋에 대한 흥미로운 탐사로 이어질 수 있습니다.예를 들어, (꼭 연결되지 않은) 열린 집합에는 연결된 각 구성요소가 단순하게 연결되어 있을 때 정확히 확장된 보완 기능이 있습니다.

비공식 토론

비공식적으로, 우리 공간에 있는 물체는 하나의 조각으로 구성되어 있고 그 전체를 통과하는 "구멍"이 없다면 단순히 연결되어 있다.예를 들어 도넛이나 커피잔(핸들이 달린 것)이 단순하게 연결되어 있지 않고 속이 빈 고무공이 단순하게 연결되어 있습니다.2차원에서는 원이 단순히 연결되어 있는 것이 아니라 디스크와 선이 연결되어 있습니다.연결되었지만 단순하게 연결되지 않은 공간을 단순 연결 또는 다중 연결이라고 합니다.

모든 루프가 (표면상의) 점으로 수축될 수 있기 때문에 구는 단순히 연결됩니다.

이 정의에서는 손잡이 모양의 구멍만 제외됩니다.구체(또는 이에 상당하는 중공의 중심이 있는 고무공)는 단순하게 연결되어 있는데, 구체 표면의 어떤 루프가 중공 중심에 '구멍'이 있어도 한 점까지 수축할 수 있기 때문이다.물체에 어떤 차원의 구멍도 없는 더 강한 조건을 수축성이라고 합니다.

예

토러스는 단순히 연결된 표면이 아닙니다.여기에 표시된 두 가지 색상 루프 중 어느 것도 표면을 벗어나지 않고서는 한 점으로 수축할 수 없습니다.보라색 루프가 고체를 떠나지 않고서는 점까지 수축할 수 없기 때문에 고체 토러스도 단순하게 연결되어 있지 않습니다.

유클리드 $\mathbb {R} ^{2}$ $(\$ ^{ $2})$ 는 $\R^2$ $\R^2$ 단순히 연결되어 $\mathbb {R} ^{2}$ $(\$ - $(0,0)$ (0 $,$ $)은 연결$ 되어 $(0,0)$ 있지 않습니다.n $n>2,$ > $n>2,$ , ${\displaystyle$ n > 2 $,$ { $n}$ 인 $n>2,$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n>2,$ R $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {$ $R} ^{$ n} 및 R n $\displaystyle$ \mathbb {R} $^{n}$ 모두 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ 연결되어 있습니다.
마찬가지로 n차원 $S^{n}$ S $S^{n}$ n n \ $displaystyle S^$ { n } 은 $S^{n}$ n $n\geq 2.$ . $n\geq 2.$ \ $displaystyle$ n \ $geq$ 2. $n\geq 2.$ 의 $n\geq 2.$ 에만 접속됩니다.
$\mathbb {R} ^{n}$ n $\mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 의 $\mathbb {R} ^{n}$ 모든 볼록 부분 집합은 단순하게 연결됩니다.
토러스, (엘렉틱) 실린더, 뫼비우스 스트립, 투영면 및 클라인 병은 단순하게 연결되어 있지 않다.
모든 위상 벡터 공간은 단순히 연결되어 있습니다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간이 여기에 포함됩니다.
n $n\geq 2,$ 2에 $대해,$ {{ $displaystyle$ $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ n $\geq$ 2 $,}$ 의 $n\geq 2,$ 특수 $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ SO $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ ( $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ , $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ ) { $displaystyle$ \ $operatorname$ ${$ SO} ( $n$ , \ $mathbb$ { $R}$ )는 $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ 단순하게 연결되어 있지 않고, 특수 $\operatorname {SU} (n)$ SU $\operatorname {SU} (n)$ ( $n )$ ( n )는 $\operatorname {SU} (n)$ 단순하게 연결되어 있다.
R $(\$ 의 $\mathbb {R}$ 원포인트 콤팩트화는 단순하게 연결되어 있지 않습니다( $(\$ 는 $\mathbb {R}$ 단순하게 연결되어 있지만).
긴 $회선$ L(\ $displaystyle$ L $)$ 은 $L$ 단순하게 연결되어 있지만, 그 콤팩트화 된 긴 $L^{*}$ L $(\$ L $^{*})$ 은 $L^{*}$ 연결되어 있지 않습니다(패스도 연결되어 있지 않기 때문에).

특성.

표면(2차원 위상다양체)이 연결되어 있고 그 속(표면의 핸들 수)이 0일 경우에만 단순하게 연결된다.

임의의 ( $적합한)$ $X$ 의 $X$ 유니버설 커버는 커버링 맵을 $통해 X$ 에 $X$ 매핑되는 단순하게 연결된 공간입니다 $.$

X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 와 $X$ Y $(디스플레이 스타일$ Y $)$ 가 $Y$ 호모토피와 동등하고 $(디스플레이 스타일$ X $)$ 가 $X$ 단순히 연결되어 있는 $경우$ Y $(\display 스타일$ Y)도 마찬가지입니다.

연속 함수에서 단순하게 연결된 세트의 이미지는 단순하게 연결할 필요가 없습니다.예를 들어, 지수 맵의 복소 평면을 예로 들 수 있습니다. $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ 는 C $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ { 0 $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ } $,\displaystyle \mathbb {C}$ \ $setminus$ \{ $0\}$ 입니다 $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ .이것은 단순하게 연결되어 있지 않습니다.

단순 연결성의 개념은 다음과 같은 사실 때문에 복잡한 분석에서 중요합니다.

Cauchy의 적분 정리는 U ${\displaystyle$ $\mathbb {C} ,$ U $}$ 가 $U$ $\mathbb {C} ,$ 평면 $\mathbb {C} ,$ C의 단순 연결된 열린 부분 집합일 $경우$ $,$ {\ $displaystyle \mathbb$ {C $},}$ $f:U\to \mathbb {C}$ f : U $→$ $f:U\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ f: $U\to$ \ $mathbb {C}$ 은 $f:U\to \mathbb {C}$ $($ 는) 홀모픽 함수이며 $f$ $\$ $displaystyle$ f는 $f$ U $,\$ $displaystyle$ U $,\$ $displaystyle$ U $,\$ $displaystyle$ $v$ 의 $F$ $U,$ $U$ $f$ $u$ $모든$ 라인의 $값$ 은 $끝점$ 에만 $의존$ 합니다 $.$ 패스의 $isplaystyle$ v $}$ 이며 $v$ $F(v)-F(u).$ $F(v)-F(u).$ ( $F(v)-F(u).$ v ) $F(v)-F(u).$ - $F(v)-F(u).$ ( $F(v)-F(u).$ u $F(v)-F(u).$ ) $.\displaystyle$ F $(v)-F(u)$ 로 계산할 수 있습니다.} 따라서 $F(v)-F(u).$ 적분은 $사용자$ (\ $displaystyle$ u $u$ )와v $(\displaystyle$ v $,)$ 를 $u$ 하는특정 경로에 의존하지 않습니다 $.$
리만 매핑 정리에 따르면 $\mathbb {C}$ C $(\displaystyle$ \ $mathbb$ {C $}$ $\mathbb {C}$ ) $\mathbb {C}$ 의 비어 있지 않은 열린 단순 연결 부분 집합은 장치 디스크와 일치합니다.

단순한 연결성의 개념 또한 푸앵카레 추측에서 중요한 조건이다.

「」를 참조해 주세요.

기본 그룹 – 위상 공간 내 루프의 호모토피 클래스의 수학적 그룹
변형 수축
n접속공간
패스 접속
일관성이 없는 공간

레퍼런스

^ "n-connected space in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-09-17.
^ Ronald, Brown (June 2006). Topology and Groupoids. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429.

Spanier, Edwin (December 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
Gamelin, Theodore (January 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
Joshi, Kapli (August 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.

[1] "n-connected space in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-09-17.

[2] Ronald, Brown (June 2006). Topology and Groupoids. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429.

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