실제값함수

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함수
x ↦ f (x)
도메인 및 코도메인의 예
$(\displaystyle X}$ → B ${\$ }, $\displaystyle \mathb {B} }$ → X ${\displaystyle$ X}, ${\displaystyle \mathb{B} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → Z ${\$ $\displaystyle \mathb {Z} }$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → R ${\$ }, ${\displaystyle \mathb {R} }$ → X ${\displaystyle$ X}, ${\displaystyle \mathb{R} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → C ${\$ ${\displaystyle \mathb {C} }$ → X ${\displaystyle$ X}, ${\displaystyle \mathb{C} ^{n}}$ → $(\displaystyle X}$
클래스/속성
상수 아이덴티티 선형 다항식 이성적 대수학 분석적 부드러움 연속 측정 가능 주입식 굴욕적인 비주사적
시공
제한 구성 λ 반비례
일반화
부분적 다중값 암묵적
v t

수학에서 실질가함수는 값이 실수인 함수다. 즉, 도메인의 각 구성원에게 실수를 할당하는 기능이다.

실제 변수(일반적으로 실제 함수라고 함)의 실제 값 함수 및 여러 실제 변수의 실제 값 함수는 미적분학 및 보다 일반적으로 실제 분석의 주요 연구 대상이다. 특히 많은 함수 공간은 실제 값을 매긴 함수로 구성된다.

대수구조

Let ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ be the set of all functions from a set X to real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Because ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is a field, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ may be turned into a vector space 및 다음 연산에서의 reals에 대한 정류 대수:

• f+ g: x ↦ f( x)+ g (x) ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ – 벡터 추가
• 0: x ↦ 0 ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$ – 가법 ID
• c: x ↦ c (x), c ∈ R ${\$ –scalar 곱셈
• f: x ↦ f( x) g (x) g ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ – 점괘 곱셈

이러한 연산은 F와 g의 도메인이 비어 있지 않은 교차점을 갖는 경우에만 부분 함수 f + g와 f g가 정의된다는 제한으로 X에서 R ,${\displaystyle \mathb {R}$까지 확장된다. 이 경우, 해당 영역은 f와 g 도메인의 교차점이다.

또한 R ${\$가) 순서 집합이므로 부분 순서가 있다.

• $\displaystyle \f\leq g\buff \iff \fall x:f(x)\leq g(x),}$

F(X, R), ${\displaystyle {\mathcal {F}(X,{\mathb {R})$에서 F(X ,R) ${\displaystyle {\mathcal {F}(X, {\$mathb {$R}}})$를 부분적으로 주문한 링으로 만든다.

측정 가능

보렐 세트의 σ-algebra는 실수의 중요한 구조물이다. X에 σ-알지브라(algebra)가 있고, 함수 f가 Borel 세트 B의 preimage f(B)가 그 al-알지브라에 속할 수 있는 것이라면, f는 측정할 수 있다고 한다. 또한 측정 가능한 함수는 § 대수 구조에서 위에서 설명한 벡터 공간과 대수학을 형성한다.

더욱이 X의 실제 가치 함수의 집합(패밀리)은 실제로 모든 보렐 집합의 모든 사전 이미지로 생성된 X에 σ-알지브라(또는 간격만, 중요하지 않음)를 정의할 수 있다. 표본 공간 Ω의 실제 값 함수가 실제 값 랜덤 변수인 (Kolmogorov's) 확률 이론에서 σ알게브라가 발생하는 방식이다.

연속

실제 숫자는 위상학적 공간과 완전한 메트릭 공간을 형성한다. 연속적인 실질 평가 함수(X가 위상학적 공간임을 의미함)는 위상학적 공간과 미터법 공간의 이론에서 중요하다. 극한값 정리는 콤팩트한 공간의 실제 연속함수에 대해 전지구적 최대치와 최소가 존재한다고 명시한다.

미터법 공간 자체의 개념은 연속적인 두 변수, 즉 미터법의 실제 가치 함수로 정의된다. 콤팩트한 하우스도르프 공간에서 연속적인 기능의 공간은 특별한 중요성을 갖는다. 수렴 시퀀스는 특수한 위상학적 공간에서 실제 값진 연속 함수로도 간주할 수 있다.

연속함수는 또한 § 대수 구조에서 위에서 설명한 벡터 공간과 대수학을 형성하며, 위상학적 공간은 개방된(또는 폐쇄된) 집합에 의해 생성되는 al-알지브라(algebra)를 가지기 때문에 측정 가능한 함수의 하위 등급이다.

부드러움

실제 숫자는 원활한 기능을 정의하기 위한 코도메인으로 사용된다. 실제 평활함수의 영역은 실제 좌표 공간(실제 다변량 함수를 산출함), 위상학적 벡터 공간,^[1] 그 중 열린 부분 집합 또는 평활 다지관이 될 수 있다.

매끄러운 기능의 공간은 또한 § 대수 구조에서 위에서 설명한 벡터 공간과 알헤브라스로서 연속적인 기능의 공간의 하위공간이다.

측량 이론에서의 외관

집합에 대한 측정은 부분 집합의 σ알지브라에서 음이 아닌 실제 값 함수다.^[2] 측정값이 있는 집합의 L^p 공간은 실제로 지수 공간이지만 앞서 언급한 실제 값 측정 가능한 함수로 정의된다. 더 정확히 말하면, 적절한 만족도 조건을 만족하는 함수는 L 공간의^p 요소를 정의하지만, 원자가 아닌 어떤 f l^p L(X)과 x x X의 반대 방향에서 f(x) 값은 정의되지 않는다. 그러나 실제값의^p L 공간은 여전히 § 대수 구조에서 위에서 설명한 구조물의 일부를 가지고 있다. L공간의^p 각 공간은 벡터공간으로 부분순서가 있으며 p, 즉 p를 변화시키는 점괘 곱셈이 존재한다.

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\time L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

예를 들어, 두² L 함수의 점성 제품은 L에¹ 속한다.

기타 출연

실제값 함수와 그 특수 특성이 사용되는 다른 맥락으로는 단조함수(순서된 집합), 볼록함수(벡터 및 아핀 공간), 조화함수와 하위함수(리만 다지관), 분석함수(대개 하나 이상의 실제 변수), 대수함수(실제 대수적 변종), and (하나 이상의 실제 변수) 다항식.

참고 항목

• 실분석
• 실제 값 함수의 주요 사용자인 부분 미분 방정식
• 표준(수학)
• 스칼라(수학)

각주

참조

• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Mechanics and Thes Applications, Second Edition, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Real Function". MathWorld.