오레의 정리

Ore's theorem
링 이론에서의 오레의 정리는 오레 조건을 참조하라.
오레의 정리 조건을 만족하는 그래프와 그 안에 해밀턴의 순환이 있다.도면 중심에는 n/2 미만의 정점이 두 개 있어 디락 정리의 조건이 충족되지 않는다.그러나 이 두 꼭지점은 인접해 있고, 다른 모든 꼭지점 쌍은 정점의 개수인 총 7도 이상을 가지고 있다.

오레의 정리는 노르웨이의 수학자 외이스테인 오레가 1960년에 증명했던 그래프 이론의 결과물이다.이것은 그래프가 해밀턴계일 수 있는 충분한 조건을 제시하는데, 기본적으로 에지가 충분히 많은 그래프에는 해밀턴 사이클이 포함되어야 한다고 명시하고 있다.구체적으로, 정리는 비인접 정점 쌍의 정도 합계를 고려한다: 그러한 쌍이 적어도 그래프의 정점 총수와 같은 합을 가지고 있다면, 그래프는 해밀턴이다.

형식명세서

G를 정점 3을 가진 (완료적이고 간단한) 그래프로 하자.우리는 G에서 정점 v의 정도, 즉 G에서 V까지의 입사 에지 수를 dog v로 나타낸다.그렇다면 오레의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

deg v + deg w w w w w n 각 비인접 정점 쌍 v 및 G의 w에 대해

(∗)

그 다음 G는 해밀턴이다.

증명

오레의 정리 증명에 대한 삽화.해밀턴 경로 v1...v가n 있지만 해밀턴 사이클이 없는 그래프에서 두 에지 vv와1i vvi − 1n(파란 점선 곡선으로 표시됨) 중 하나는 존재할 수 있다.둘 다 존재하는 경우, 경로에 이들을 추가하고 (빨간색) 에지 vv를i − 1i 제거하면 해밀턴 사이클이 생성된다.

해밀턴이 아닌 모든 그래프 G가 조건(조건)을 따르지 않는다는 것을 보여주는 것과 같다.따라서 해밀턴 주기가 아닌 n ≥ 3 정점에 G를 그래프로 하고, 해밀턴 주기가 생성되지 않는 에지를 한 번에 하나씩 더하여 더 이상 에지를 추가할 수 없을 때까지 G에서 H를 형성하도록 한다.x와 y를 H의 비인접 정점 두 개로 한다.그리고 H에 가장자리 xy를 추가하며 가장자리가 그러한 주기에 xy보다 다른 하나는 해밀턴 경로 v1v2 H에서 x...vn)v1, y)vn을 형성해야 할 필요가 최소한 하나의 새로운 해밀턴 주기를 창출할 것이다.각 지표 들어 나는 범위에서 2≤ 나는, H에 v1vi고 비아이 − 1vn로 두 가장자리를 고려한 n≤.에서 대부분의 이 두개가 H에, 다른 선물할 수 있다.사이클 vv12...vvvi − 1nn − 1...v는i 해밀턴 사이클일 것이다.따라서 v 또는1 vn 중 하나에 발생하는 총 에지 수는 최대 n - 1인 i의 선택 수와 동일하다.따라서 H는 속성(∗性)을 따르지 않으므로 이 총 에지 수(deg v1 + deg vn)가 n보다 크거나 같아야 한다.G의 정점도는 기껏해야 H의 정도와 같기 때문에 G 역시 속성(性)에 복종하지 않는다는 것을 따른다.

알고리즘.

파머(1997)는 오레의 조건을 만족하는 그래프에서 해밀턴 사이클을 구성하기 위한 다음과 같은 간단한 알고리즘을 설명한다.

  1. 정점을 그래프에서 보조성은 무시한 채 임의로 사이클로 정렬하십시오.
  2. 사이클에 그래프에 인접하지 않은 두 개의 연속된 정점이 포함되어i 있는 경우i + 1 다음 두 단계를 수행하십시오.
    • 네 개의i 꼭지점i + 1 v, v, vj 및 v가j + 1 모두 구별되고 그래프에 v-vi 및j v-vj + 1i + 1 간 에지가 포함되도록 인덱스 j를 검색하십시오.
    • v와i + 1 v 사이의j 사이클 부분을 반대로 한다(포함).

각 단계는 그래프에 인접한 사이클에서 (v와 v가jj + 1 이미 인접해 있는지 여부에 따라) 한 쌍 또는 두 쌍씩 연속되는 쌍의 수를 증가시키므로 외부 루프는 알고리즘이 종료되기 전 최대 n번만 발생할 수 있으며 여기서 n은 주어진 그래프에서 정점의 수입니다.정리의 증명에서와 유사한 논거에 의해, 원하는 지수 j가 존재해야 하며, 그렇지 않으면 비인접 정점i v와i + 1 v는 총도가 너무 작을 것이다.i와 j를 찾고, 사이클의 일부를 반대로 하는 것은 모두 시간 O(n)에 달성될 수 있다.따라서 알고리즘의 총 시간은 입력 그래프의 에지 수와 일치하는 O(n2)이다.

관련결과

오레의 정리는 디락 정리의 일반화로서 각 정점에 n/2 이상의 정도가 있을 때 그래프는 해밀턴식이라는 것이다.예를 들어, 만약 그래프가 Dirac의 조건을 충족시킨다면, 각 꼭지점 쌍은 적어도 n에 더해지는 각도를 가지고 있다.

결국 오레의 정리는 본디-차발 정리에 의해 일반화된다.하나는 두 개의 비인접 정점들이 적어도 n에 더해지는 정도를 가질 때마다, 그들을 연결하는 가장자리를 추가하는 그래프에서 폐쇄 연산을 정의할 수 있다; 만약 그래프가 오레의 정리 조건을 충족한다면, 그것의 폐쇄는 완전한 그래프다.본디-체바탈 정리는 한 그래프가 해밀턴식이라면 그래프가 해밀턴식이라면 해밀턴식이라고 말하고 있다. 완전한 그래프는 해밀턴식이기 때문에 오레의 정리는 즉각적인 결과물이다.

우달(1972)은 지시된 그래프에 적용되는 오레의 정리 버전을 발견했다.digraph G가 두 꼭지점 u와 v마다 u에서 v까지의 에지가 있거나 u의 outdiority와 v의 외관이 G의 정점 수와 같거나 초과하는 속성을 가지고 있다고 가정합시다.그러면 우달의 정리에 따르면 G는 지시된 해밀턴 사이클을 포함하고 있다.주어진 비방향 그래프의 모든 가장자리를 지시된 가장자리 쌍으로 교체하여 우달로부터 광석의 정리를 얻을 수 있다.메이니엘(1973)에 의한 밀접하게 관련된 정리는 n-vertex가 digraph와 강하게 연결된 성질을 가지고 있어서, 두 개의 비인접 정점 u와 v마다, u 또는 v에 입사하는 총 가장자리 수는 적어도 2n - 1이어야 한다는 것을 명시하고 있다.

오석의 정리도 정리에 있어서의 정도 조건의 결과로서 해밀턴성보다 더 강한 결론을 주기 위해 강화될 수도 있다.구체적으로는 오레의 정리 조건을 만족하는 모든 그래프는 정규적인 완전 양분형 그래프이거나 범순환형(Bondy 1971)이다.

참조

  • Bondy, J. A. (1971), "Pancyclic graphs I", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 11 (1): 80–84, doi:10.1016/0095-8956(71)90016-5.
  • Meyniel, M. (1973), "Une condition suffisante d'existence d'un circuit hamiltonien dans un graphe orienté", Journal of Combinatorial Theory, Series B (in French), 14 (2): 137–147, doi:10.1016/0095-8956(73)90057-9.
  • Ore, Ø. (1960), "Note on Hamilton circuits", American Mathematical Monthly, 67 (1): 55, doi:10.2307/2308928, JSTOR 2308928.
  • Palmer, E. M. (1997), "The hidden algorithm of Ore's theorem on Hamiltonian cycles", Computers & Mathematics with Applications, 34 (11): 113–119, doi:10.1016/S0898-1221(97)00225-3, MR 1486890.
  • Woodall, D. R. (1972), "Sufficient conditions for circuits in graphs", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 24: 739–755, doi:10.1112/plms/s3-24.4.739, MR 0318000.