세컨트 함수의 정수

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

미적분학에서 제분함수의 적분은 다양한 방법을 사용하여 평가할 수 있으며, 항변성을 표현하는 여러 방법이 있는데, 이 모든 것이 삼각측량적 정체성을 통해 등가임을 알 수 있다.

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\ln \left {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right +C\\[15pt]\ln \left \sec \theta +\tan \theta \right +C\\[15pt]\ln \left \tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right +C\\[15pt]\end{cases}}}$

이 공식은 다양한 삼각적 통합을 평가하는 데 유용하다. 특히, 겉보기에는 특별해 보이지만 용도에 있어서는 다소 자주 나타나는, 세컨드 큐브의 적분을 평가하는 데 사용할 수 있다.^[1]

서로 다른 해독제가 동등하다는 증거

삼각형 형태

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right +C\\[15pt]\ln \left \sec \theta +\tan \theta \right +C\\[15pt]\ln \left \tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right +C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}}$

이 중 두 번째는 먼저 내부 비율의 상단 및 하단에(1+ sin ⁡ θ $){\displaystyle(1+\sin \theta )}$을 곱한 것이다. 그러면 분모에 1 -sin 2 ⁡= cos 2 ⁡ ${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta$ =\$cos$^{2}\cos $^{2}\thea }$가 주어지며, 그 결과는 1/2 인자를 제곱근으로 로그선으로 이동시킴으로써 나타난다. 통합의 상수는 일단 배제하고

${\displaystyle{\begin{정렬}{\dfrac{1}{2}}\ln \left{\dfrac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\right&={\dfrac{1}{2}}\ln \left{\dfrac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\cdot{\dfrac{1+\sin \theta}{1+\sin \theta}}\right ={\dfrac{1}{2}}\ln \left{\dfrac{{2(1+\sin \theta)^}}{1-\sin ^{2}\theta}}\right ={\dfrac{1}{2}}\ln \left{\dfrac{(.1+\sin \theta )^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right \\[6pt]&={\dfrac {1}{2}}\ln \left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}=\ln {\sqrt {\left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}}}=\ln \left {\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right =\ln \sec \theta +\tan \theta .\end{aligned}}}$

세 번째 형태는 sin ⁡ θ{ {\$displaystyle \sin \theta }$을$($를$)$ cos ⁡ (θ+ π/ 2)로 교체하고 cos 2 x${\$$displaysty \cos$$(\theta$+\$pi$$/$2)에 대한 ID를 사용하여 확장하는 것이다. 또한 다음과 같은 대체물을 통해 직접 얻을 수도 있다.

${\displaystyle {\regated}\sec \theta ={\frac {1}{\sin \left(\theta +}\dfrac {}}{2}}\오른쪽)}}}={\frac{1}{2\sin \left\dfrac {\theta }{\dfrac {}{4}\right)\cos \left\dfrac {\dfrac }{2}}+{\dfrac {}}}}}}}}\rig)}}}={\frac {\sec ^{2}\왼쪽 ^\dfrac {\dfrac{}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}\오른쪽)}{2\tan \lefrac\dfrac {}{2}}+{\dfrac {}}}}}}}}}}}}}}\end{정렬}}}$

위도 ator{\$displaystyle -{\frac {\pi${2$}}$와 -π ${\paystyle$ {\$pi {}{2$}}} 사이에 있으므로 Mercator 투영 순서자에 대한 기존 용액은 계량 기호없이 쓸 수 있다.

${\displaystyle y=\ln \tan \!\leftfr\frac {\varphi }{2}}+{\frac {}}{4}\오른쪽).}$

쌍곡선 형태

내버려두다

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\\sinh \psi &={\frac {1}{2}}(e^{\psi }-e^{-\psi })=\tan \theta ,\\\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=\sec \theta ,\\\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}}$

그러므로

$\displaystyle {\based}\into \sec \theta \,d\theta &=\tanh ^{-1}\!\left(\sin \sin \theta \right)=\sinh ^{-1}\!\left(\tan \tan \theta \right)=\cosh ^{-1}\!\left(\sec \theta \right).\end{정렬}}}$

역사

세컨트 함수의 통합은 제임스 그레고리가 1668년에 해결한 "17세기 중엽의 두드러진 개방 문제"의 하나였다.^[2] 그는 자신의 결과를 항해 표에 관한 문제에 적용했다.^[1] 1599년, 에드워드 라이트는 수치적 방법에 의해 핵심을 평가했는데, 오늘날 우리가 리만 합이라고 부르는 것이다.^[3] 그는 지도 제작의 목적, 특히 정확한 메르카토르 투영법을 구축하기 위한 해결책을 원했다.^[2] 1640년대에 항법, 측량, 기타 수학적 주제의 교사인 헨리 본드는 라이트가 수적으로 계산한 세컨트 적분 값표를 접선 함수의 로그 표와 비교했고, 결과적으로 그것을^[2] 추측했다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\theta }\sec \theta '\,d\d\ln \left \tan \left({\fract\}{2}}+{\frac {}}}{4}\pi\오른쪽.}}}}$

이러한 추측이 널리 알려지게 되었고, 1665년 아이작 뉴턴은 그것을 알아차렸다.^[4][5]

평가

표준 대체(Gregory의 접근 방식)에 의해

다양한 참조에 제시된 세컨 적분을 평가하는 표준 방법은 분자와 분모를 초denomin + 황갈색 θθ { { { { { { \ \sec$\displaystyle \sec$ + $tan$ \ θ u u u u u u u u { { { { { { $\$\ \\\\\\d $display$ u u u u u u display u u \\\\\\\\\\$displaysec$andand ud u=(초 sectan tantan tan sec + 초 2 ⁡ d ) d d d d θ { { { { $\\sec \tan$ \tan $\theta +\2}\,d\theta }($초 \$tan$ \tontan \tan \theta =) \. 이러한 대체는 공통 인자로 첨가된 파생상품에서 얻을 수 있다.^[6][7][8]

시작

${\dapplaystyle {d}{d}{d\theta }}\sec \tan \tan \text{and}\tan \tan \theta \d}{d}}\tan \theta =\2}\ta ,}$

추가 기능 제공

${\d}{d}{d\theta}}}(\sec \theta +\tan \theta )=\sec \tan \theta \tan \tan \theta ^{2}\theeta =\tan \theta(\tan \tan \theta +\sectheta).}$

The derivative of the sum is thus equal to the sum multiplied by ${\displaystyle \sec \theta }$. This enables multiplying ${\displaystyle \sec \theta }$ by ${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta }$ in the numerator and denominator and performing the following substitutions: u = sec ⁡ θ + tan⁡ θ ${$ {\$displaystyle u$$=\$$sec$ \$tan \tan$ \\ }⁡+ $sec$ 2 + + + + tan { { { { { { { { ${$ \$tan$ \$tan \ + {$ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

적분은 다음과 같이 평가한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int \sec\theta \,d\theta&=\int{\frac{\sec \theta(\theta+\tan \theta\sec)}{\theta+\tan \theta\sec}}\,d\theta \\[6pt]&, =\int{\frac{(\sec ^{2}\theta+\sec\theta\tan \theta)\,d\theta}{\theta+\tan \theta\sec}}&&u=\sec\theta+\tan \theta \\[6pt]&, =\int{\frac{뒤}{u}}&&du=(\se.C\theta+\sec ^ \theta \tan.{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\ln u +C=\ln \ln \sec \tan \tan \theta +C,\ended}}}$

주장대로 이것은 제임스 그레고리가 발견한 공식이었다.^[1]

부분 분율 및 대체(Barrow의 접근 방식)

비록 그레고리 1668년에 그의 Exercitationes Geometricae의 추측자 그 증거는 거의 불가능해 현대의 독자들 이해할 수 없는 상태의 형태로 있으나, 심지어 그"그 날의 기하학적 용어로 쓰여진 만필. 아이작 배로, 그의 기하학적 Lectures 1670,[9]에서 첫번째"이해할 수 있는"증명했다 선 보였습니다."[2]배로의 pro그 결과 중 가장 일찍 부분 분수를 통합에 사용한 것이 있었다.^[2] 현대식 표기법에 적응한 바로우의 증거는 다음과 같이 시작되었다.

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{\cos ^{2}\theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{1-\sin ^{2}\theta }}}$

u ${\displaystyle u}$을(를) sin θ ${\displaystyle \sin \theta}$에 대체하면 u {\displaystyle \

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{1-u^{2}}}&=\int {\frac {du}{(1+u)(1-u)}}={\dfrac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)\,du\\[10pt]&={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\ln \왼쪽 1+u\오른쪽 -\ln \왼쪽 1-u\오른쪽 \오른쪽)+C={\frac{1}{2}}\ln \왼쪽 {\frac {1+u}{1-u}}{1-u}\오른쪽 +C\ended}}}}$

그러므로

${\displaystyle \int \sec \d\theta ={\frac {1}{1}:{2}}\ln \왼쪽 {\frac {1+\sin }}{1-\sin }}}{1-\sin \theta }}오른쪽 +C,}$

예상대로

위어스트라스 대체에 의해

표준

위어스트라스 대체 공식은 다음과 같다. let t= 태닝 ⁡ (θ/ 2) ${\displaystyle$t=\$tan(\theta /2$ 여기서 -< θ < ^[10]$>$ <<\$displaystyle$ -$\pi <\pi$ $그럼$.

${\displaystyle \sin \left\frac {\theta }{2}}\오른쪽)={\frac {t}{\sqrt{1+t^{2}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos \left\frac {\theta }{2}}:\frac {1}{\sqrt{1+t^{2}}}}}.}$

그러므로,

${\displaystyle \sin \thin ={\frac {2t}{1+t^{2}}:}\qquad \cH00}{1-t^{2}}:{1+t^{2}}:}\qquad{\text{and}}\qquad d\\\\\\prac {2}{1+t^{{2}}}}}}}}}}}{{{{{{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\,dt,}$

양각 공식으로 세컨트 함수의 통합에 대해서는,

${\displaystyle {\regated}\int \sec \theta \,d\teta &=\int {\frac {d\t^{1+t^{2}}:{1-t^{1}{1-t^}}{\frac {1}{1+t^{2}{1+t^{2}{2}{2}}}}\,dt&, &,t=\tan{\frac{\theta}{2}}\\[6pt]&, =\int{\frac{2\,dt}{1-t^{2}}}=\int{\frac{2\,dt}{(1-t)(1+t)}}\\[6pt]&, =\int 2\left[{\frac{1}{2(1+t)}}와{\frac{1}{2(1-t)}}\right]dt&,&{\text{부분 분수}}\\[6pt]&,=\int \leftᆯ\,dt\\[6pt]&, =\ln t+1-\ln t-1 +C=\ln \l.eft{\frac{t+1}{t-1}}\right+C\\[6pt]&=\ln \왼쪽 {\frac {t+1}{t-1}\cdot {\frac {t+1}{t+1}{t+1}}\오른쪽 +C=\ln \왼쪽 {\frac {t^{2}+2t+1}}{t^{2}-1}}\right +C\\[6pt]&, =\ln \left{\frac{{2t^}+1}{t^{2}-1}}+{\frac{2t}{t^{2}-1}}\right+C=\ln \left{\frac{{2t^}+1}{t^{2}-1}}+{\frac{2t}{t^{2}-1}}\cdot{\frac{{2t^}+1}{t^{2}+1}}\right +C\\[6pt]&, =\ln \left{\frac{{2t^}+1}{t^{2}-1}}+{\frac{2t}{t^{2}+1}}\cdot{\frac{{2t^}+1}{t^{2}-1}}\right +C\\[6pt]&, =\ln\left{\frac{1}{\cos.\theta}}+\sin \theta \cdot{\frac {1}{\cos \cos \theta }}\right +C=\ln \sec \tan \tan \tan \theta +C,\ended}}}}$

종전과 같이

비표준

또한 이 적분은 2013년에 발행된 이 특별한 적분의 경우 보다 간단한 Weierstrass 대체의 다소 비표준 버전을 사용함으로써 도출될 수 있다.^[11]

${\displaystyle {\displaysty}&x=\tan \left\frac\frac {\pi }{4}+{\fracta {}{2}}\오른쪽)\\[10pt]&{\frac {2x}{1+x^{2}}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta \\[10pt]&dx={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}(1+x^{2})d\theta \\[10pt]&{\frac {2\,dx}{1+x^{2}}}}=d\theta \\[10pt]\int \sec \theeta \,d\d\theta &=\int \refac {1+x^{1+x^{1}:{2x}\좌측 \frac {2}{2}{1+x^{2}}}}\\오른쪽)\,dx=\int {\frac {dx}{x}}}\ln x +C=\ln \left \tan \left({\frac {\pi }}}}}{4}}+{\fracta }}\right)\right +C\end{정렬}}}$

두 번의 연속적인 대체에 의해.

적분도 통합 조작과 2회 교체로 해결할 수 있다. sec x= 1 cos(초) x= 1 cos($)$ x {\$displaystyle \sec x={\frac {$1}{\$cos$ x$}}}$ 정의를 사용하여 적분을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\frac {1}{\cos x}dx=\int {\frac {\cos x}{2}x}\,dx}$

ID cos 2 ⁡ x+ sin 2 ⁡ x= 1 ${\displaystyle \coses$^{$2}x+\sin ^{2}x=1}$을 사용하여 통합은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \int{\frac {\cos x}{2}x}\,dx=\int {\frac}{1-\sin ^{2}x}\,dx}$

u ${\displaystyle u}$을(를) sin × ${\displaystyle \sin$ x$}$에 대체하면 u {\displaysty

${\displaystyle \int{\frac {1}{1-u^{2}}\,du}$

감소된 적분은 u {\$displaystyle u}$을(를$)$ tanh ⁡ t ${\displaystyle \tanh t}$에 대체하고ID 1 - tanh 2se t= secch 2 $⁡$ t ${\t}t$=\$displaystytname {sech} ^{2}t}$를 사용하여 평가할 수 있다.

${\displaystyle \int{\frac {\frac}{1-\tanh ^{2}t}\,dt=\int{\frac {\\\phname {sech}{2}t}{\notname {2}{2}t}{{2}t}}}\d=\t}$

이제 적분은 단순한 적분으로 축소되고, 백-대-대-대-대칭은

${\displaystyle \intdt=t+C=\operatorname {artanh} u+C=\operatorname {artanh}(\sin x)++C}$

쌍곡선 형태 중 하나야

코섹트, 쌍곡선 세컨트 및 쌍곡선 코섹트 함수를 통합하기 위해 유사한 전략을 사용할 수 있다.

기타 쌍곡선 형태

또한 분자와 분모를 다시 편리한 용어로 곱하여 다른 2개의 쌍곡선 형태를 직접 찾을 수도 있다.

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\frac {\px}{2}x}\\dx=\int {\frac {\\sec ^{2}x}{\sqrt {\\tan ^{2}x+1}}\,dx}$

u {\$displaystyle$ u$}$을(를$)$ $tann$× {\$displaystyle \tan$ x$}$로 대체하면 표준 적분으로 $감소$:

${\displaystyle \int{\frac {1}{\sqrt {u^{2}+1}}\,du=\operatorname {arsinh} u+C=\operatorname {arsinh} \left(\tan x\오른쪽)++++++++++;C}$

마찬가지로:

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\frac {\sec x\tan x}{\tan x}},dx=\int {\sec x\tan x}{\sec ^{2}x-1}\,dx}$

초 ⁡ x{\$displaystyle$\sec $x}$을(를) d u= 초 x 태닝 xd x ${\displaystyle \,du$$sec x\tan x\,dx}$로 대체하면 다음과 같은 표준 적분으로 감소한다.

${\displaystyle \int{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-1}\,du=\operatorname {arcosh} u+C=\operatorname {arcosh} \left(\sec x\right)++++C}$

구더만니안과 람베르티안

제2차 함수의 적분은 구더만 함수의 역함수인 램버트 함수를 정의한다.

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\chostname {lam}(\theta )=\gd}^{-1}(\theta).}$

이것은 지도 투영 이론에서 만난다: 경도 θ과 위도 φ을 가진 점의 메르카토르 투영법은 다음과 같이 쓰여질^[12] 수 있다.

${\displaystyle (x,y)=(\theta ,\chostname {lam}(\varphi )).}$

참고 항목

• 큐방트 일체형
• 구더만 함수

참조