아이덴티티(수학)

피타고라스의 동일성에 대한 시각적 증거: 모든 각도

\theta

{\

displaystyle \theta

에 대해 점

(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )

(

x

,

y

)

=

(

\

,

(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )

\

(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )

) ( \cos \

theta

, \

sin \theta )

는

(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )

x

x^{2}+y^{2}=1

+

x^{2}+y^{2}=1

1

( \

style

x + 2 )

^2

^2 )의

x^{2}+y^{2}=1

에 있습니다.

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

2

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

+

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

2

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

1

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

{

displaystyle \cos

^{

2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

입니다.

수학에서, 항등식( is is式)은 A와 B(일부 변수를 포함할 수 있음)가 일정한 ^[1]유효 범위 내의 변수의 모든 값에 대해 동일한 값을 생성하도록 하나의 수학식 A와 다른 수학식 B를 관련짓는 등식이다.즉, A와 B가 동일한 함수를 정의하면 A = B는 항등식이고, 항등식은 다르게 정의된 함수 간의 등식이다.예를 들어 ( $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 2 + $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ a $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ + $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 2 \ $displaystyle ( a$ + $b$ )^ $2$ 입니다 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $}=a^{2}+2ab+b^{$ $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ }} $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ cos $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ + + $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ 2 $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ ⁡ $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ = 1 \ $displaystyle$ \ $cos ^{2$ }\theta $+\sin ^{$ 2}\ $theta =$ 1 $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ }는 ^[1]동일성이다 $.$ 동일성은 때때로 등호인 $=$ 대신 트리플 바 기호^[2]instead로 표시됩니다.

공통 아이덴티티

대수 항등식

a $a+0=a$ + $a+0=a$ $a+0=a$ (\ $displaystyle$ a $+0$ $=$ 및 $a+(-a)=0$ + (- $)$ $a+(-a)=0$ 0 (\ $displaystyle$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ a $+(-a$ )= $0$ 과 같은 특정 항명은 ^[3]대수의 기초를 형성하며, ( $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ + $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ + b + $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ (a + $b)^2$ )와 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 같은 다른 항명은 대수의 기초를 형성한다. $}=a^{2}+2ab+b^{$ 2 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ }} $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ - $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ $=$ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ + $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ b ) $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ ( $a$ - $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ b ){ $style a^{2}-b$ ^{2 $}=(a+$ b)( $a-b$ 는 대수식을 단순화하고 ^[4]확장하는데 유용하다 $.$

삼각 항등식

기하학적으로 삼각항등식은 하나 이상의 ^[5]각도의 특정 함수를 포함하는 항등식입니다.삼각형의 각도와 변의 길이를 모두 포함하는 삼각형의 동일성과는 다릅니다.이 기사에서는 전자의 내용만 다루고 있다.

이러한 식별성은 삼각함수와 관련된 식을 단순화해야 할 때 유용합니다.또 다른 중요한 적용은 비트리거 함수의 통합입니다. 먼저 삼각함수와 함께 대체 규칙을 사용하고 그 결과 얻은 적분을 삼각함수로 단순화하는 일반적인 기술입니다.

삼각 항등식의 가장 두드러진 예 중 하나는 등식 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ + cos $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ 2 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ 1 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ , \ $displaystyle$ \ $sin ^{2$ }\theta + \ $cos ^{2$ }\theta $=1$ , 를 $\theta$ 하며, 이는 ${\$ \ $displaystyle \theta$ 의 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ 모든 실값에 대해 참입니다. 반면, 방정식은

\displaystyle \cos \theta = 1

이 값은 $\theta$ 의 특정 값 $(\display$ \theta $\theta$ 에만 해당되며 전부는 아닙니다.예를 들어, $\theta =0,$ 방정식은 $\theta =0,$ $\theta =0,$ $\theta =0,$ , $\theta =0,$ \ $displaystyle \theta$ = $0$ , \ $displaystyle \theta$ $2$ 이면 false입니다.

삼각 정체성의 또 다른 그룹이 걱정addition/subtraction 공식(예를 들어, double-angle 정체성 죄 ⁡(2θ)=2세의 ⁡ θ 거⁡ θ{\displaystyle \sin(2\theta)=2\sin \theta \cos \theta}의 추가 공식을 황갈색⁡(x+y){\displaystyle \tan(x+y)}),[2] 될 수 있으며 사용한 것을 깨 표현입니다.의더 작은 구성 요소를 가진 각도로 더 큰 각도로 이동합니다.

지수 아이덴티티

밑수가 0이 아닌 경우 모든 정수 지수에 대해 다음 ID가 유지됩니다.

{{displaystyle {displaystyle}b^{m+n}&=b^{n}\(b^{m})^{n}&=b^{n}\cdot c{n}&=b^{n}\cdot c{n}\endaligned}}

덧셈과 곱셈과는 달리, 지수는 가환적이지 않다.예를 들어, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 및 2 · 3 = 3 · 2 = 6이지만 2³ = 8인 반면² 3 = 9입니다.

또한 덧셈과 곱셈과는 달리, 지수화 역시 연관성이 없다.예를 들어 (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 및 (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4 ) = 24이지만, 2의³ 4제곱은 8(또는 4,096)인⁴ 반면, 2의⁴ 3제곱은⁸¹ 2(또는 2,417,851,639,229,258,412,352)이다.괄호가 작성되지 않은 경우 일반적으로 순서는 상향식 순서가 아니라 하향식입니다.

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

q :

=

(

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

q

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

) ,

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

{\

displaystyle

b

^{p^{q

} := b

^{p^{q}},

반면

b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},

(

q

(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.

(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.

(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.

(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.

.\displaystyle

( b

^{p}^{q

} =

b^{p\cdot

q} }.

}

로그 항등식

로그식 또는 로그법칙이라고 불리는 몇 가지 중요한 공식은 서로 ^[a]로그를 관련짓습니다.

곱, 지수, 검정력 및 근

곱의 대수는 곱한 숫자의 대수의 합계이며, 두 숫자의 비율의 대수는 대수의 차이입니다.어떤 숫자의 p제곱의 로그는 p 곱하기 숫자 자체의 $로그$ 입니다. p번째 루트의 로그는 p로 $나눈$ 숫자의 로그입니다.다음 표에 이러한 ID와 예를 나타냅니다.각 아이덴티티는 왼쪽의 로그 $x=b^{\log _{b}x},$ $x=b^{\log _{b}x},$ $x=b^{\log _{b}x},$ b log $x=b^{\log _{b}x},$ x $,$ {\ $display x=b^{\log$ _ ${b}x}}$ 및 $x=b^{\log _{b}x},$ / $y=b^{\log _{b}y},$ y $y=b^{\log _{b}y},$ $y=b^{\log _{b}y},$ $y=b^{\log _{b}y},$ b $y=b^{\log _{b}y},$ y $,$ {\ $display y=b^{\log$ _ ${b}y}}}$ 를 $y=b^{\log _{b}y},$ 대입한 후에 도출할 수 있습니다.

	공식	예
제품.	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\displaystyle \log _{3} (243)=\log _{3} (9\cdot 27)=\log _{3} (9)+\log _{3} (27)=2+3=5}$
몫의	$\displaystyle \log _{b}\!\leftfrac\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	$\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\leftfrac\frac {64}{4}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
힘	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6)=6\log _{2}(2)=6}$
뿌리	$\displaystyle \log _{b}\!{nothrt[{p}{x}=nothfrac {log _{b}(x)}{p}}$	$\displaystyle \log _{10}\!{\sqrt {1000}=sqrfrac {1}{2}}\log _{10}1000=sqrfrac {3}{2}}=1.5}$

베이스 변경

로그_b 로그(x)는 다음 공식을 사용하여 임의의 기저 k에 대한 x 및 b의 로그에서 계산할 수 있습니다.

\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.

전형적인 과학 계산기는 10과 ^[6]e의 밑수를 로그로 계산한다.임의의 밑수 b에 대한 로그는 앞의 공식에서 다음 두 가지 로그 중 하나를 사용하여 결정할 수 있습니다.

\log _{b}(x)=syslog frac {\log _{10}(x)}}=syslog frac {{e}(b)}{\log _{e}(b)}}.

숫자 x와 그 로그 로그_b(x)가 알 수 없는 기저 b에 주어지면, 밑수는 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}}.

쌍곡선 함수 항등식

쌍곡선 함수는 많은 항등식을 만족하며, 모두 삼각함수와 형태가 유사합니다.사실, 오스본의 법칙은^[7] 어떤 삼각 항등식도 시인과 코사인 정수승의 관점에서 완전히 확장하고, 사인에서 sinh로 바꾸고, 코사인에서 cosh로 바꾸고, 짝수 수의 쌍곡선의 ^[8]곱을 포함하는 모든 항의 부호를 바꿈으로써 쌍곡선의 항등식으로 변환할 수 있다고 말한다.

구더만 함수는 삼각함수와 복소수를 포함하지 않는 쌍곡함수 사이에 직접적인 관계를 제공합니다.

논리 및 보편 대수

공식적으로, $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ 는 $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ 1, $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ : s $=$ $,$ {\ $displaystyle \forall x_{1$ },\ $ldots,x_{n$ $}$ 형식의 $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ 진정한 보편적 수량화 공식입니다. $여기$ 서 $s$ 와 t는 $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ 1, $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ $.\displaystyle x_{$ 1}, $x_n$ . $}$ $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ 수식 $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ prefix $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ 1, …, $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ n $(\displaystyle$ \ $forall x_{1},\ldots,x_{$ n $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ })은 보통 암묵적으로 사용됩니다.예를 들어, 모노이드의 공리는 종종 공식으로 주어진다.

\displaystyle x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\forall x:x*1=x,\forall x:1*x=x,\forall \forall x:1*x,}

또는, 곧

\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x}

이 공식들은 모든 모노이드의 동일성입니다.어떤 등식에서도, 계량자가 없는 공식은 종종 방정식이라고 불립니다.즉,^[9]^[10] 항등식은 변수의 모든 값에 대해 참인 방정식입니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

메모들

^ 이 섹션의 모든 문장은 예를 들어 Shirali 2002, 섹션 4, Downing 2003, 페이지 275 또는 Kate & Bhapkar 2009, 페이지 1-1에서 찾을 수 있습니다.

인용문

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^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, 페이지 21
^ Osborn, G. (1 January 1902). "109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae". The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
^ Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus (3rd ed.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., 26장, 1155페이지
^ Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Rewrite Systems". In Jan van Leeuwen (ed.). Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 243–320.
^ Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (eds.). Universal Algebra for Computer Scientists. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9. 여기: 제3.2.1장 1절, 페이지 160.

원천

Downing, Douglas (2003). Algebra the Easy Way. Barrons Educational Series. ISBN 978-0-7641-1972-9.
Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009). Basics Of Mathematics. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-755-8.
Shirali, S. (2002). Adventures in Problem Solving. Universities Press. ISBN 978-81-7371-413-9.

외부 링크

방정식 백과사전 온라인 수학 아이덴티티 백과사전 (아카이브)
대수적 항등식의 집합

[6] 이 섹션의 모든 문장은 예를 들어 Shirali 2002, 섹션 4, Downing 2003, 페이지 275 또는 Kate & Bhapkar 2009, 페이지 1-1에서 찾을 수 있습니다.

[:1-1] "Mathwords: Identity". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-01.

[:2-2] "Identity - math word definition - Math Open Reference". www.mathopenref.com. Retrieved 2019-12-01.

[3] "Basic Identities". www.math.com. Retrieved 2019-12-01.

[4] "Algebraic Identities". www.sosmath.com. Retrieved 2019-12-01.

[5] Stapel, Elizabeth. "Trigonometric Identities". Purplemath. Retrieved 2019-12-01.

[7] Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, 페이지 21

[8] Osborn, G. (1 January 1902). "109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae". The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.

[9] Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus (3rd ed.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., 26장, 1155페이지

[10] Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Rewrite Systems". In Jan van Leeuwen (ed.). Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 243–320.

[11] Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (eds.). Universal Algebra for Computer Scientists. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Vol. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9. 여기: 제3.2.1장 1절, 페이지 160.

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