1차원 정상 상태 확산을 위한 유한 체적법

계산 유체 역학에서 유한 체적 방법은 물리적 보존 법칙에서 발생하는 편미분 방정식의 이산화 기법입니다.이러한 방정식은 타원형, 포물선 또는 쌍곡선과 같이 특성이 다를 수 있습니다.이 방법의 첫 번째 문서화된 사용은 로스앨러모스에서 Evans와 Harlow(1957)에 의해 이루어졌다.정상 확산에 대한 일반 방정식은 과도항과 대류항을 ^[1]삭제함으로써 특성 δ에 대한 일반 수송 방정식에서 쉽게 도출할 수 있다.

General Transport 방정식은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ + ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ div ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ ( ) $=$ ( ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$ ) + $S$ ( \ display \ $frac \ rho$ \ phi } { \ $display$ t } + $\operatorname$ { $div$ } ( \ $rho$ \ $phi$ \ upsilon ) $=\operatorname { gamma$ div ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )=\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }$

어디에
${\$ { $displaystyle$ \ rho $\rho$ }는 $\rho$ $\phi$ 이고 ${\$ { \ $displaystyle$ \ phi $}$ 는 $\phi$ $\rho$ .
$γ$ { $displaystyle$ \ $\Gamma$ Gamma $\Gamma$ }는 확산^[2] $계수이고$ S { displaystyleS $S$ }는 ^[3]소스 용어입니다.
$\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ div $\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ $\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ $）{$ $displaystyle \operatorname {div}(\rho$ \ $phi$ \upsilon $\operatorname {div} (\rho \phi \upsilon )$ )는 $\operatorname {div}(\rho \phi \upsilon )$ 유체 요소(convation) 중 $\phi$ （\ $displaystyle \phi ）$ 의 $\phi$ 순유속입니다.
$\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ ( $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ grad $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ {\ {\ $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ ） $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ （ \ $displaystyle \operatorname$ { $div }$ （ \ $Gamma$ \ $operatorname { grad }$ \ phi $\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )$ ） to ${\$ {\ 、 확산에 $\phi$ {\ （ \ $displaystyle$ \ $phi$ ）의 $\phi$ 증가율입니다.
$S_{\phi }$ ${\$ { \ $display style$ S _ { \ $phi }$ $S_{\phi }$ $\phi$ 。출처에 의한 $\phi$ {\ { \ $displaystyle$ \ $phi$ }의 $\phi$ 증가율입니다.

${\$ display $\style\frac\$ rho $\phi}{\$ partial ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ t}}는 유체 요소 $($ 과도)의 $fluid(\displaystyle$ \phi $)$ 의 증가율입니다 ${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$

과도항과 대류항이 0이 되는 조건:

정상 상태
낮은 레이놀즈 수

1차원 정상 상태 확산의 경우 일반 운송 방정식은 다음과 같이 감소합니다.

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

(

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

)

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

+

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

0 \

displaystyle \operatorname

{

div }

( \

Gamma \operatorname

{grad } \

phi

) +

S_{

\

phi

} = 0

\operatorname {div} (\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

、

또는,

{\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

{\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

x (

{\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

그라데이션

{\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

+

{\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

{\frac {d}{dx}}(\Gamma \operatorname {grad} \phi )+S_{\phi }=0

(\

displaystyle {d}

{

dx})

(

Gamma \operatorname {grad}

\

phi)

+

S_{\phi

} =

0

）。

다음 단계는 1차원 정상 상태 확산을 위한 유한 체적 방법을 구성합니다.

순서 1
그리드 생성

도메인을 작은 도메인의 동일한 부분으로 나눕니다.
각 작은 도메인의 중심에 결절점을 배치합니다.

작은 도메인 분할 및 노드 포인트 할당(그림 1)
이러한 노드 점을 사용하여 제어 볼륨을 작성합니다.

볼륨 관리 및 볼륨 관리 및 경계면(그림 2)

물리적 경계가 제어 볼륨 경계와 일치하도록 가장자리 근처에 제어 볼륨을 작성합니다(그림 1).
일반 콘트롤 볼륨의 일반 노드점 'P'를 가정합니다.동쪽과 서쪽의 인접 노드점은 각각 E와 W로 식별된다.제어 볼륨의 서쪽 면은 'w'로 나타내고 동쪽 면은 'e'로 나타냅니다(그림 2).

정상 상태 1차원 확산(그림 3)

WP, wP, Pe 및 PE 사이의 거리는 § $\delta x_{WP}$ $(\$ 로 식별됩니다. $WP$ § $\delta x_{wP}$ $\delta x_{wP}$ { $displaystyle$ \ $delta$ x _ { $w$ } $P$ $\delta x_{Pe}$ $\delta x_{Pe}$ e(\ $displaystyle \delta x_{Pe$ }) 및 $\delta x_{Pe}$ $\delta x_{PE}$ p $(\$ $PE$ 그림4).

순서 2
이산화

볼륨 폭 제어(그림 4)

유한 체적법의 핵심은 각 제어 체적에 지배 방정식을 통합하는 것입니다.
결절점은 방정식을 이산화하는 데 사용됩니다.
노드 지점 P에서 제어 볼륨 적분은 다음과 같습니다(그림 3).

$0$ ${timeout}\right}_{w}+{\overright$ 화살표 ${S}}\Delta$ V $=0},$

어디에

{\ $displaystyle$ A $}$ 은 $A$ 제어 볼륨 면의 단면적(수직 $)$ 이고, $\Delta V$ V {\ $displaystyle$ \ $Delta$ V $}$ 는 볼륨 $,$ S ${\overrightarrow {S}}$ {\ $displaystyle$ { $S}}$ 은 $\overrightarrow {S}$ 제어 볼륨 대비 소스 S의 평균값입니다.

어떤 볼륨의 동서면을 통한 확산 플럭스 픽의 $\phi$ 법칙 ${\$ {\ $displaystyle \phi$ }의 $\phi$ 차이가 해당 볼륨의 $\phi$ ${\$ {\ $displaystyle \phi }$ 의 $\phi$ 변화에 해당한다고 기술되어 있습니다.
$\phi$ 한 결론을 얻으려면 to { $displaystyle \phi$ } ${\frac {d\phi }{dx}}$ d ${\frac {d\phi }{dx}}$ ${\frac {d\phi }{dx}}$ x { $displaystyle$ \ $frac { d$ \ $phi$ } { $dx$ } 의 ${\frac {d\phi }{dx}}$ 확산계수가 필요합니다.
중심 차분 기술 [1]을 사용하여 $\phi$ {\ $displaystyle$ \ $phi$ 의 확산 계수를 도출합니다.

$\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{W}+\Gamma _{P}}{2}}$ w = $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{W}+\Gamma _{P}}{2}}$ $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{W}+\Gamma _{P}}{2}}$ + $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{W}+\Gamma _{P}}{2}}$ $P$ 2 \ $displaystyle$ \ $Gamma$ _ { w } $= fr frac$ { $Gamma$ _ { $W$ } + \ $Gamma$ _ { } $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{W}+\Gamma _{P}}{2}}$ 、

$\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{P}+\Gamma _{E}}{2}}$ w = $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{P}+\Gamma _{E}}{2}}$ $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{P}+\Gamma _{E}}{2}}$ + $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{P}+\Gamma _{E}}{2}}$ E $2$ （ \ $displaystyle$ \ $Gamma$ _ { w } = fr $frac$ { $Gamma _$ { P } + \ $Gamma$ _ { $\Gamma _{w}={\frac {\Gamma _{P}+\Gamma _{E}}{2}}$ ）

${\frac {d\phi }{dx}}$ ${\frac {d\phi }{dx}}$ ${\frac {d\phi }{dx}}$ x ( \ $displaystyle$ \ $frac$ { d \ $phi$ } { $dx$ } )는 ${\frac {d\phi }{dx}}$ 노드 포인트 값을 사용하여 계산됩니다(그림 4).

 $\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)_{e}={\frac {\phi _{E}-\phi _{P}}{\delta x_{PE}}}$  $PE}}}}}},$ 
  $\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)_{w}={\frac {\phi _{P}-\phi _{W}}{\delta x_{WP}}}$  $WP$

일부 실제 상황에서는 소스 항을 선형화할 수 있습니다.

${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ V ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ + ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ ${\$ ${\overrightarrow {S}}\Delta V=S_{u}+S_{p}\phi _{p}$ { $displaystyle$ } \ $Delta$ V = $S_{u}$ + $S_{p}$ \ $phi$ _ { $p$ 。

위의 방정식을 결합하면 다음과 같이 됩니다.

$p$ $A_{e}\left({\frac {phi _{E}-\phi _{P}}}{\delta x_{})$ $PE}}\right)-\Gamma_{w}$ $A_{w}\left({\frac {phi _{P}-\phi _{W}}}{\delta x_{})$ $PE}}\right)+(S_{u}+S_{p}\phi_{p$

재배열로 제공

$\ fr style$ $PE}}A_{e}+{\frac{Gamma_{w}}{\delta x_{$ $WP}}A_{w}-S_{p}\오른쪽)\phi_{P}=\left({\frac {Gamma _{w}}{\frac x_{})$ $WP}}A_{w}\오른쪽)\phi_{W}+\left({\frac {Gamma _{e}}{\delta x_{})$ $WP}}A_{e}\right)\phi_{E}+S_{u$

위의 방정식을 비교하고 식별한다.

$a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+S_{u$

어디에

$a_{W}$	$a_{E}$	$a_{P}$
$디스플레이 스타일(\frac_{w}}{\delta x_{WP}}A_{w}}$	$displaystyle(\frac\Gamma_{e}}{\delta x_{PE}}A_{e}}$	$a_{W}+a_{E}-S_{P$

순서 3:
방정식의 해

문제를 해결하려면 각 노드 지점에 이산 방정식을 설정해야 합니다.
선형 대수 방정식 선형 방정식의 결과 시스템을 풀면 노드 지점에서 $\phi$ (\ $displaystyle \phi)$ 를 $\phi$ 얻을 수 있습니다.
고차 [2] 행렬은 MATLAB에서 해결할 수 있습니다.

이 방법은 2D 상황에도 적용할 수 있습니다.2차원 확산 문제는 유한 체적 방법을 참조하십시오.

레퍼런스

Patankar, Suhas V.(1980), 수치 열전달 및 유체 흐름, 반구.
Hirsch, C.(1990), 내부 및 외부 흐름의 수치 계산, 제2권: 비점성 및 비점성 흐름을 위한 계산 방법, Wiley.
Culbert B.(1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
LeVeque, Randall(1990), 보존법칙의 수치적 방법, 수학 시리즈 ETH 강의, Birkhauser-Verlag.
Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2차 Ed., Taylor 및 Francis.
Weseling, Pieter(2001), Springer-Verlag, Computational Fluid Dynamics(계산유체역학 원리)
Carslaw, H.S.와 J.C. Jager, J. C.고체 중의 열 전도.옥스퍼드: 클라렌던 프레스
크랭크, J. (1956)확산의 수학.옥스퍼드: 클라렌던 프레스
탐비나야감, R.K.M. (2011년)확산 핸드북:엔지니어용 응용 솔루션: McGraw-Hill

^ "Navier-Stokes Equations in Fluid Mechanics". Efunda.com. Retrieved 2013-10-29.
^ "Diffusion – useful equations". Life.illinois.edu. Retrieved 2013-10-29.
^ "SSCP: Programming Strategies". Physics.drexel.edu. Retrieved 2013-10-29.

외부 링크

「」를 참조해 주세요.

[1] "Navier-Stokes Equations in Fluid Mechanics". Efunda.com. Retrieved 2013-10-29.

[2] "Diffusion – useful equations". Life.illinois.edu. Retrieved 2013-10-29.

[3] "SSCP: Programming Strategies". Physics.drexel.edu. Retrieved 2013-10-29.

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