식별자

수학에서, 다항식의 판별식은 계수에 의존하는 양이며, 계산하지 않고 근의 일부 특성을 추론할 수 있다.더 정확히 말하면, 원래 다항식의 계수에 대한 다항식 함수입니다.판별식은 다항식 인수분해, 수론, 대수기하학에서 널리 사용된다.

2차 $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ x $ax^{2}+bx+c$ + $ax^{2}+bx+c$ x + $ax^{2}+bx+c$ { $displaystyle$ ax $^{2}+bx+c}$ 의 $ax^{2}+bx+c$ 판별식은 다음과 같다.

b^{2}-4ac,

2차 공식에서 제곱근 아래에 나타나는 양입니다. $a\neq 0,$ 가 $a\neq 0,$ 0인 $,$ \ $displaystyle$ a $\neq$ 0 $,$ 다항식이 이중 루트를 갖는 경우에만 이 판별자는 0입니다.실수 계수의 경우, 다항식이 두 개의 서로 다른 실수 근을 가지면 양수이고, 두 개의 서로 다른 복소 공역 ^[1]근을 가지면 음수이다.마찬가지로, 다항식의 판별식은 다항식이 다중 근을 갖는 경우에만 0이 됩니다.실수 계수를 갖는 입방체의 경우, 판별식은 다항식이 3개의 서로 다른 실근을 가지면 양수이고, 1개의 실근과 2개의 서로 다른 복소 공역근을 가지면 음수이다.

보다 일반적으로, 양의 차수의 일변량 다항식의 판별식은 다항식이 다중 근을 갖는 경우에만 0이 됩니다.실수 계수가 다중 근이 아닌 경우, 비실수 근의 수가 4의 배수(없음 포함)이면 판별식이 양수이고 그렇지 않으면 음수입니다.

대수적 수장의 판별자, 2차 형식의 판별자, 그리고 보다 일반적으로 형태의 판별자, 균질한 다항식 또는 투영적 초서면(이 세 가지 개념은 본질적으로 동등하다)이라고 불린다.

기원.

"차별자"라는 용어는 1851년 영국의 수학자 제임스 조셉 ^[2]실베스터에 의해 만들어졌습니다.

정의.

허락하다

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}

a $a_{0},\ldots ,a_{n}$ , $a_{0},\ldots ,a_{n}$ a {0 $},$ \ $ldots, a_{n}}$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 가 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 필드 또는 보다 일반적으로 가환환에 속하도록 $차수$ n의 다항식( $즉$ , $a_{n}\neq 0$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ $a_{n}\neq 0$ { $displaystyle$ $a_{$ n}\ $neq$ 0}) $a_{n}\neq 0$ 이어야 합니다. $A$ 와 그 $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ A $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ ( $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ x ) $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ - $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ + ( $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ - $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ ) $a$ - $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ n $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ - $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ + $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ + $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ ( \ $displaystyle$ A ' ( x ) = $na _$ { $n$ } $x^$ { n - 1 + { n - 1 $A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$ } $x$ ^ { n - 1 } + $cdots$ + { a $}$ $A$ 와A의 $베스터$ 매트릭스실베스터 매트릭스의 첫 번째 열의 0 이외의 엔트리는 $(\$ }) 및 $a_{n}$ $(\displaystyle na_{n})$ 입니다 $na_{n},$ .따라서 결과는 $.\displaystyle a_{n}$ 의 배수입니다.} 따라서 $a_{n}.$ 판별자는 기호까지 $n$ {\ $displaystyle a_$ n}}에 $의해$ A와 $a_{n}$ 의 $결과$ 의 몫으로 정의됩니다 $.$

\operatorname {Disc}_{x}(A)=param frac {(-1)^{n(1)/2}}{a_{n}}\operatorname {Res}_{x}(A,A')}}}

역사적으로, 이 부호는 다항식의 모든 근이 실재할 때 판별자가 양수가 되도록 선택되었다.계수의 링에 0의 제수가 포함되어 있는 경우 $a_{n}$ n(\ $displaystyle a_{n$ })으로 나눗셈을 제대로 정의하지 못할 수 있습니다.이러한 문제는 행렬식을 계산하기 전에 실베스터 행렬의 첫 번째 열에 있는 n $(\$ 을 $a_{n}$ 1로 $a_{n}$ 하면 피할 수 있습니다. $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 경우에도 판별식은 정수 계수를 갖는 0 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ ${\$ 의 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 입니다.

어근에 의한 표현

다항식이 필드 위에 정의될 때, 그것은 n개의 루트, $r 1, r 2$ , $...,$ $r$ 를_n 가진다. (계수가 실수일 경우, 그 루트는 복소수 분야에서 취해질 수 있으며, 여기서 대수의 기본 정리가 적용된다.)

근의 관점에서 판별자는 다음과 같다.

\operatorname {Disc} _{x}(A)={2n-2}\prod _{i}(r_{i}-r_{j})^{n(n-1)/2}a_{n}^2n-2}\displaystyle_{i}_{i\neq_r}j}j_{i}\prod

따라서 이것은 반데르몽드 다항식 $곱하기 n 2 n - 2$ a의 제곱이다.

판별자에 대한 이 표현은 종종 정의로 받아들여진다.이것은 다항식이 다중 루트를 가지면 판별식은 0이고, 모든 루트가 실수이고 단순하다면 판별식은 양수라는 것을 명확히 한다.앞의 정의와 달리, 이 식은 계수에서 분명히 다항식이 아니지만, 이것은 갈로아 이론의 기본 정리 또는 대칭 다항식의 기본 정리로부터 이 식이 A의 근원에서의 대칭 다항식이라는 점에 주목함으로써 뒤따른다.

저도

선형 다항식(도 1)의 판별식은 거의 고려되지 않습니다.필요한 경우 일반적으로 1로 정의됩니다(빈 제품에 대한 일반 규칙을 사용하고 실베스터 매트릭스의 두 블록 중 하나가 비어 있는 것을 고려).상수 다항식(즉, 차수 0의 다항식)의 판별식에 대한 공통 규칙은 없다.

작은 도수의 경우 판별이 다소 간단하지만(아래 참조), 높은 도수의 경우 다루기 어려워질 수 있다.예를 들어 일반 4진법의 판별식은 16항,^[3] 5진법의 판별식은 59항,^[4]^[5] 6진법의 판별식은 246항이다.이것은 OEIS 시퀀스 A007878입니다.

도수 2

2차 $ax^{2}+bx+c\,$ a $ax^{2}+bx+c\,$ 2 + $ax^{2}+bx+c\,$ x + $ax^{2}+bx+c\,$ {\ $displaystyle$ ax $^{2}+bx+c,}$ 는 $ax^{2}+bx+c\,$ 판별식을 가진다.

(\displaystyle b^{2}-4ac,}

판별자의 제곱근은 2차 다항식의 근에 대한 2차 공식에 나타납니다.

({displaystyle x_{1,2}=bpm {-b^{2}-4ac}}{2a})}

여기서 판별자는 두 루트가 동일한 경우에만 0입니다. $a,$ $b,$ $c$ 가 실수라면 다항식은 판별식이 양수이면 두 개의 뚜렷한 실근과 ^[6]음수이면 두 개의 복소 공역근을 가진다.

판별식은 $a$ 의² 곱과 루트 차이의 제곱입니다.

$a,$ $b,$ c가 유리수일 경우 판별식은 두 근이 유리수일 경우에만 유리수의 제곱이 됩니다.

레벨 3

세제곱 3

x +

bx 2

+

cx

+

d

의 판별의 0 집합. 즉, bc –

4c 3

–

4bd 3

–

27d 2

+

18bcd

=

0

을

만족

하는²² 점.

세제곱 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ + $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ 2 + $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ x + $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ d {\ $displaystyle$ ax $^{3}+bx^{2}+cx+d,}$ 는 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ 판별식을 가진다.

b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd,

압축된 입방 $x^{3}+px+q$ $x^{3}+px+q$ 3 $x^{3}+px+q$ + $x^{3}+px+q$ + $x^{3}+px+q$ (\ $displaystyle$ x $^{3}+px+q$ 의 특수한 경우 판별식은 다음과 같이 단순화됩니다.

(\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}),}

판별자는 적어도 두 개의 루트가 동일한 경우에만 0입니다.계수가 실수이고 판별자가 0이 아닌 경우, 판별자는 루트가 3개의 서로 다른 실수이면 양수이고, 1개의 ^[7]실근과 2개의 복소공역근이 있으면 음수입니다.

판별식과 강하게 관련된 양의 제곱근은 입방 다항식의 제곱근 공식에 나타납니다.구체적으로 이 양은 판별식의 $-3배$ 또는 유리수의 제곱을 갖는 곱이 될 수 있다. 예를 들어, Cardano 공식의 경우 1 $/18$ 의 제곱이다.

다항식이 환원 불가능하고 계수가 유리수(또는 숫자장에 속함)인 경우, 입방정식의 갈로아 그룹이 3차 순환군인 경우에만 판별식은 유리수의 제곱(또는 숫자장으로부터의 숫자)이 됩니다.

도수 4

4차

다항식 4

x +

cx 2 + dx

+

e

의 판별식입니다.표면은 다항식이 반복 루트를 갖는 점(

c,

d,

e

)을 나타냅니다.첨두부 가장자리는 3개의 루트를 가진 다항식에 해당하고, 자가 교차는 2개의 서로 다른 반복 루트를 가진 다항식에 해당됩니다.

4차 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ 4 + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ 3 + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ + $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ ({ $displaystyle$ ax $^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,})$ 는 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,$ 판별식을 갖는다.

{displaystyle }&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}e^{2}\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+ab^{c}-2}^2]\end { aligned}

판별자는 적어도 두 개의 루트가 동일한 경우에만 0입니다.계수가 실수이고 판별식이 음수이면 두 개의 실근과 두 개의 복소 공역근이 있습니다.반대로 판별자가 양수이면 루트는 모두 실재하거나 모두 비실재입니다.

특성.

영판별

필드에 대한 다항식의 판별식은 다항식이 일부 필드 확장에 다중 루트를 갖는 경우에만 0입니다.

적분 영역에 대한 다항식의 판별식은 다항식과 그 도함수가 일정하지 않은 공통수를 갖는 경우에만 0이 된다.

특성 0에서, 이것은 다항식이 무제곱이 아니라고 말하는 것과 같다(즉, 비정수 다항식의 제곱으로 나눌 수 있다).

0이 아닌 $특성$ p에서 판별 인자는 다항식이 제곱 자유롭지 않거나 분리할 수 없는 환원 불가능한 인자가 있는 경우에만 0이다( $x^{p}$ , x $x^{p}$ {\ $style$ x $^{p}).$

변수 변경 시 불변성

다항식의 판별식은 변수의 투영 변환에서 스케일링까지 불변합니다.투영 변환은 변환, 균질성 및 반전의 산물로 분해될 수 있으므로 다음과 같은 간단한 변환 공식으로 이어집니다. $여기$ 서 P $(x)$ 는 $n$ 의 다항식을 나타내며 n $a_{n}$ {\ $displaystyle a_{n}$ 을 $a_{n}$ 선행 계수로 $a_{n}$ .

번역에 의한 불변성:

\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}

이것은 근에 대한 판별자의 표현에서 비롯된다.

동질성에 의한 불변성:

\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x)})},

이는 근 또는 판별자의 준동질성의 관점에서 표현된 결과이다.

반전별 불변성:

\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\;(x)=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))},

P(0)\neq 0.

(

P(0)\neq 0.

)

P(0)\neq 0.

0

P(0)\neq 0.

.

P(0)\neq 0.

{

displaystyle

P (

0

) \

neq

0

P(0)\neq 0.

. }

P^{\mathrm {r} }\!\!\;

서

P(0)\neq 0.

P^{\mathrm {r} }\!\!\;

{

displaystyle

P^ { \

mathrm { r

} \

!\!

\;}

은

P^{\mathrm {r} }\!\!\;

P

의 역다항식을 나타냅니다.즉

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

P(

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

=

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

n +

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

+

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

0

,

{

displaystyle

P

(x

)=

a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0}

및

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

a_{0}\neq 0,

a_{0}\neq 0,

0

,

{

displaystyle a_{0}\neq

0이면

a_{0}\neq 0,

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

과 같습니다.

\displaystyle P^{\mathrm {r}\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}

링 동형 하에서의 불변성

$\varphi \colon R\to S$ : $\varphi \colon R\to S$ $\varphi \colon R\to S$ (\ $displaystyle$ \ $varphi \display R\to$ S $)$ 를 $\varphi \colon R\to S$ 교환환의 동형사상이라고 하자.주어진 다항식

A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}

R $[x]$ 에서 동형사상 $(\displaystyle \varphi)$ 는 $\varphi$ A에 $작용$ 하여 다항식을 생성한다.

A^{\varphi}=\varphi(a_{n})x^{n}+\varphi(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +\varphi(a_{0})

S $[x]$ 로 표시됩니다.

판별자는 $\varphi$ 과 같은 의미에서 $§$ {\ $displaystyle \varphi}$ 에서 $\varphi$ 불변합니다. $"$ ( $\varphi (a_{n})\neq 0,$ n $\varphi (a_{n})\neq 0,$ 0 $\varphi (a_{n})\neq 0,$ , \ $displaystyle$ \ $varphi$ ( a $_$ { n ) \ $neq$ 0 $,$ }인 $\varphi (a_{n})\neq 0,$ 경우

\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi})=\varphi(\operatorname {Disc} _{x}(A)).}

판별식은 행렬식의 관점에서 정의되므로, 이 속성은 행렬식의 유사한 속성에서 즉시 도출된다.

$\varphi (a_{n})=0,$ ( $\varphi (a_{n})=0,$ ) $\varphi (a_{n})=0,$ , \ $displaystyle$ \ $varphi$ ( $a$ _ { n ) $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ $= 0$ , }인 $\varphi (a_{n})=0,$ 경우, $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ ( ( $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ x $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ ( \ $operatorname$ { $Disc } _$ { $x$ } ( $A$ )는 $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ 0 이거나 아닐 수 있습니다. $\varphi (a_{n})=0,$ ( $\varphi (a_{n})=0,$ ) $=$ $\varphi (a_{n})=0,$ 때 $\displaystyle$ \ $varphi (a_{$ n})= 0 $,}$ 이 됩니다.

\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}

판별식이 0인지 여부(대수 기하학에서 일반적으로 그렇듯이)에만 관심이 있는 경우, 이러한 특성은 다음과 같이 요약될 수 있다.

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0

( A

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0

)

=

0 (\

displaystyle \

varphi (\operatorname

{

Disc} _{x

} (A

=

0

displaystyle \

operatorname

{

Disc} _{x

} (

)

\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.

\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.

인

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ 은 $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ $A^{\varphi }$ 가 $A^{\varphi }$ 복수의 루트(무한)를 $A^{\varphi }$ 가지는 $A^{\varphi }$ $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ $displaystyle$ $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ A $^{\varphi$ $=$ (\ $operatorname {Disc} _{x}(A$ 라고 $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ 해석됩니다.

다항식의 곱

$R$ = $PQ$ 가 $x$ 의 다항식의 곱이라면,

{{displaystyle {disc}\operatorname {disc}_{x}(R)=\operatorname {Res}_{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc}_{x}(Q)\[5]{operatorname {disc}^{p}^{{{p}&opername {disc}

$\operatorname {Res} _{x}$ x $\operatorname {Res} _{x}$ \ $operatorname {Res} _{$ x $\operatorname {Res} _{x}$ }}는 $변수$ x에 대한 결과를 $나타내고$ $p$ 와 q는 $P$ 와 Q의 각 $정도$ 를 나타냅니다.

이 특성은 결과 및 판별식을 각 다항식의 근에 대한 식으로 치환함으로써 즉시 뒤따른다.

균질성

판별식은 계수의 균질 다항식이며, 근원에서는 균질 다항식이므로 계수에서는 준균질 다항식입니다.

$차수$ n의 다항식 판별식은 $계수의 차수$ 2n - 2의 균질입니다.이것은 두 가지 방법으로 볼 수 있다.근원-선행-항 공식의 경우 모든 계수에 $θ$ 를 곱해도 θ를 $곱하는$ 것이 아니라 θ를 곱한다. $a$ 로 $나눈 n$ $(2n$ - $1) \times$ (2n - 1) 행렬(실베스터 행렬)의 행렬식으로서의 표현에 있어서, 행렬식은 엔트리의 $2n$ - $1$ 의 균질하고, $a$ 로_n 나누면 $2n$ - $2가$ 된다.

$차수$ n의 다항식 판별식은 근에서 $차수$ n $(n$ - 1 $)$ 의 균질함이다.이는 상수 및 ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ ( ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ - ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ ) $({$ }} $=sq$ frac ${n(n-1)}{2}}$ 의 ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ 곱인 근에 대한 판별자의 표현에서 비롯된다.

각 $i$ 에 대해 $(\$ x $^{i$ $x^{i}$ 에 $가중치 n$ - i가 주어질 경우, $n차$ 다항식의 판별식은 계수 n $(n -$ 1)의 준균질이다. $또한$ 모든 i에 대해 $(\$ style $x^{i$ $x^{i}$ 에 $가중치$ i가 주어지는 경우에는 같은 정도의 준균질이다.이것은 루트에서 균질하고 대칭인 모든 다항식이 루트의 기본 대칭 함수에서 준균질 다항식으로 표현될 수 있다는 일반적인 사실의 결과이다.

다항식 고려

P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.

그것은 판별식에 $나타나는 n i n$ 모든 $단항 0 i 0 a\dots,$ a의 지수가 두 방정식을 만족시키는 선행에서 비롯된다.

i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2

그리고.

({displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}

그리고 방정식도

ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1)

첫 번째 방정식에 $n$ 을 곱해서 두 번째 방정식을 빼서 구한다.

이것은 판별자에서 가능한 항을 제한한다.일반 2차 다항식의 경우 판별식에는 두 개의 가능성과 두 개의 항만 있는 반면, 세 변수에서 두 개의 차수의 일반 균질 다항식은 6개의 항을 가집니다.일반 세제곱 다항식의 경우 판별식에는 5개의 가능성과 5개의 항이 있는 반면, 5개의 변수에서 4차원의 일반 균질 다항식은 70개의 항이 있습니다.

높은 차수의 경우 위의 방정식을 만족하고 판별식에 나타나지 않는 단수가 있을 수 있습니다.첫 번째 예는 4차 $다항식 4$ ax + $bx 3$ + $cx 2 + dx$ + $e$ 에 대한 것으로, 이 경우 $단항식 4$ bcd는 판별식에 나타나지 않고 방정식을 만족합니다.

실근

이 섹션에서는 모든 다항식에는 실제 계수가 있습니다.

② 저차에서는 판별 기호가 2차 및 3차 다항식의 근의 성질에 대한 완전한 정보를 제공하는 것으로 나타났다.높은 차수의 경우 판별자가 제공하는 정보는 완전하지 않지만 여전히 유용합니다.보다 정확하게는, $차수$ n의 다항식에 대해 다음이 있다.

다항식은 판별식이 0인 경우에만 다중 루트를 가집니다.
판별자가 양수이면 비실수근의 수는 4의 배수입니다.즉, 2k쌍의 복합공역근과 $n$ - $4k$ 의 실근이 존재하도록 비음수 $정수$ k $\leq$ n/ $4가$ 존재한다.
판별자가 음수이면 비실수근의 수는 4의 배수가 아닙니다.즉, $2k$ + $1쌍$ 의 복소공역근과 $n$ - $4k$ + $2$ 의 실근이 존재하는 비음수 $정수$ k δ $(n$ $- 2$ )/ $4가$ 존재한다.

균질 이변량 다항식

허락하다

A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}

$n차수$ 의 동질 다항식이다.

현시점에서는 0 $({$ a_ ${0$ })과 n({ $displaystyle$ a_{ $n})$ 이 $a_{n}$ 모두 0이 아닌 $a_{0}$ 으로 가정하고 있습니다.

\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1)=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}

$\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ h $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ ( A $),$ { $displaystyle \operatorname {Disc}^{h}(A)}$ 로 $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ 이 수량을 나타냅니다.

\operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc}^{h}(A)

그리고.

\operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc}^{h}(A)

이러한 특성 때문에 $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ h $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ δ ( $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ ) { $displaystyle \operatorname {Disc}$ ^{ $h}(A)}$ 의 $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ 을 $A$ 의 판별 또는 균질 판별이라고 한다.

$(\$ $a_{n}$ n $(\$ 이 $a_{n}$ 0인 $a_{0}$ $다항식$ A $(x, 1$ ) 및 $A$ ( $1,$ $y)$ 는 n보다 $작은$ 차수를 가질 수 있습니다.이 경우, 위의 공식과 정의는 모든 다항식이 $n$ 을 갖는 것처럼 판별식을 계산하면 유효하다.즉, 판별자는 0 $(\$ 과 $a_{0}$ n $(\$ 의 $a_{n}$ $a_{0}$ 계산해야 합니다.이 계산 후에 판별자의 실제 값이 계산됩니다.마찬가지로 링 동형 하에서의 θ 불변성의 공식을 사용해야 한다.

대수기하학에서 사용

대수기하학에서 판별식의 일반적인 용도는 평면 대수곡선, 그리고 보다 일반적으로 대수초서면을 연구하는 것이다.V를 곡선 또는 초면이라고 $가정$ 하자. V는 다변량 다항식의 0 집합으로 정의된다.이 다항식은 불확정 중 하나의 일변량 다항식으로 간주될 수 있으며, 다른 불확정 다항식은 계수로 간주될 수 있다.선택된 불확정값에 대한 판별자는 다른 불확정값의 공간에 $하이퍼서페이스$ W를 정의한다.W의 $점$ 은 $V$ 의 점(무한점에 있는 점 포함)을 정확히 투영한 것으로, 단수이거나 선택한 부정축의 축에 평행한 접선 초평면을 가집니다.

예를 들어, f가 실제 계수를 갖는 $X$ 와 $Y$ 의 이변량 다항식이라고 $가정$ 하면, $f$ = $0$ 은 실제 평면 대수 곡선의 암묵적 방정식이다.F를 X에 $의존$ 하는 계수를 갖는 $Y$ 의 일변량 다항식으로 볼 $때$ , 판별식은 $X$ 의 다항식이며, X의 근은 Y축과 평행한 접선을 가진 점, Y축과 평행한 점근의 X 좌표입니다.즉, Y-판별자와 X-판별자의 근을 계산하면 곡선의 모든 주목할 만한 점(변곡점을 제외)을 계산할 수 있다.

일반화

차별적 개념에는 두 가지 클래스가 있습니다.첫 번째 클래스는 2차 필드를 포함한 경우에 따라 필드를 정의하는 다항식의 판별인 대수적 수 필드의 판별자입니다.

두 번째 클래스의 판별식은 계수에 따라 발생하며, 문제의 퇴화 인스턴스 또는 특이점이 계수에 있는 단일 다항식의 소멸로 특징지어질 때 발생한다.이것은 두 개의 루트가 붕괴될 때 0인 다항식의 판별식의 경우이다.그러한 일반화 판별식이 정의되는 대부분의 사례는 다음과 같다.

A를 특성 0의 장 또는 다항식의 정도를 나누지 않는 주요 특성의 장에 걸쳐 $n개$ 의 부정한 균질 다항식이라고 $하자$ . $다항식$ A는 A의 $n개$ 의 부분 도함수만이 중요하지 않은 공통 0을 갖는 경우 단수점을 갖는 투영 초표면을 정의한다.이것은 이러한 편도함수의 다변량 결과가 0인 경우에만 해당되며, 이 결과는 $A$ 의 판별력으로 간주될 수 있다.단, 파생된 정수계수 때문에 이 다변량 결과는 $n$ 의 거듭제곱으로 나누어질 수 있으며, 일반계수로 계산한 결과의 원시부분을 판별자로서 취하는 것이 좋다.그렇지 않으면 편도함수의 공통 0이 다항식의 0일 필요는 없기 때문에 특성에 대한 제한이 필요하다.

$차수$ d의 균질 이변량 다항식의 경우, 이 일반 판별식은 d $d^{d-2}$ - $d^{d-2}$ 2({ $displaystyle$ d $^{d-2})$ 이다 $d^{d-2}$ .일반 정의의 인스턴스인 몇 가지 다른 고전적 유형의 판별자가 다음 섹션에서 설명된다.

이차 형식

2차 형식은 벡터 공간에 대한 함수이며, 2차 다항식에 의해 어떤 기초에 걸쳐 정의됩니다.

Q(x_{1},\ldots,x_{n}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}x_{j

또는 매트릭스 형태로,

Q(X)=XAX^{\mathrm {T}}

$n\times 1$ $n\times n$ × $n\times n$ \ $displaystyle$ n $n\times n$ \ $times$ $n$ $n\times n$ $A=(a_{ij})$ ( $A=(a_{ij})$ ) \ $displaystyle$ A = ( a $A=(a_{ij})$ $_$ { $ij$ $1\times n$ $)$ 、 $1\times n$ 1 $n\times 1$ × $1\times n$ $n\times 1$ 행 $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ X $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ( $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ) $、$ \ $displaystyle$ X = ( $x$ _ { $1$ $1\times n$ , \ $ldots$ , x $_$ n ) $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $mathrm {T}$ ^[8]2와 다른 특성에서 $Q$ 의 판별식 또는 행렬식은 ^[9] $A$ 의 행렬식입니다.

헤시안 Q의 $행렬식$ 은 판별식의 ${n}$ . $Q$ 의 편도함수의 다변량 결과는 헤시안 행렬식과 같다.따라서, 2차 형식의 판별자는 위의 판별자의 일반적인 정의의 특별한 경우이다.

2차 형식의 판별자는 변수의 선형 변화(즉, 2차 형식이 정의되는 벡터 공간의 기저 변화) 하에서는 불변합니다. 변수의 선형 변화는 $비칭$ 행렬 S에 의해 $정의$ 되고 행렬 $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ 를 $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ T A $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ S로 $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ 합니다(\ $displaystyle$ S $^{\mathrm$ { $T} S,}).$ 따라서 판별식에 $S$ 의 행렬식의 제곱을 곱한다.따라서 판별식은 제곱에 의한 곱셈까지만 잘 정의된다.즉, $필드$ K에 대한 2차 형식의 판별자는 K $/(2 K \times$ )의 원소이며, $K$ 의 곱셈 모노이드의 비제로 제곱의 부분군에 대한 몫이다(즉, $K$ 의 두 원소가 다른 원소의 곱이 0이 아닌 제곱의 곱이라면 K의 두 원소는 동일한 등가 등급에 있다).따라서 복소수에서 판별자는 0 또는 1에 해당합니다.실수에서 판별자는 -1, 0 또는 1에 해당합니다.유리수에서 판별자는 고유한 제곱 없는 정수와 같습니다.

Jacobi의 정리에 의해, 변수의 선형 변화 후에, 2와 다른 특성의 장에 걸친 2차 형식은 다음과 같이 대각선 형태로 표현될 수 있다.

a_{1}x_{1}^2}+\cdots +a_{n}x_{n}^2}.

보다 정확히는, 에 대한 2차 형태는 합으로 표현될 수 있다.

\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}

여기서 $L$ 은_i 독립적인 선형 $형식$ 이고 n은 변수의 수( $a i$ 중 일부는 0일 수 있음)입니다.어느 $대칭행렬$ A에도 $S^{\mathrm {T} }A\,S$ $S^{\mathrm {T} }A\,S$ S {\ $display style$ S $^{\mathrm {T}}A, S}$ 가 $S^{\mathrm {T} }A\,S$ 대각행렬인 $소행렬$ S가 있다.판별식은 K $/(K \times) 2$ 에서 클래스로 잘 정의된 $a$ 의_i 곱이다.

기하학적으로, 세 변수에서 2차 형식의 판별식은 2차 투영 곡선의 방정식이다.판별식은 곡선이 선으로 분해된 경우(아마도 필드의 대수적으로 닫힌 확장에 걸쳐)에만 0이 됩니다.

4개의 변수에서 2차 형식은 투영 표면의 방정식입니다.표면은 판별식만 0인 경우 특이점을 가진다.이 경우 표면은 평면으로 분해되거나 고유한 특이점을 가지며 원추형 또는 원통형이다.실측에서 판별자가 양의 경우 표면에는 실제 포인트가 없거나 모든 곳에 음의 가우스 곡률이 있습니다.판별자가 음수인 경우 표면은 실제 점을 가지며 음의 가우스 곡률을 가집니다.

원뿔형 섹션

원뿔 단면은 형태의 암묵적 방정식에 의해 정의된 평면 곡선이다.

({displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2display+2ey+f=0,}

$여기$ 서 a, $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ 는 실수입니다.

두 개의 2차 형식, 따라서 두 개의 판별자를 원뿔 단면에 연관시킬 수 있습니다.

첫 번째 2차 형식은

ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2bcz+2eyz+fz^{2}=0.

그것의 판별식은 결정 요인이다.

({displaystyle {vmatrix} a&b&d\b&c&e\d&f&end {vmatrix})}

원뿔 단면이 2개의 선(복선 또는 1개의 점)으로 퇴화하면 0이 됩니다.

많은 초등 교과서에서 고려되는 유일한 두 번째 판별식은 방정식의 2차 동질적인 부분의 판별식이다.와 동등하다^[10]

b^{2}-ac,

원추형 단면의 모양을 결정합니다.이 판별식이 음수인 경우 곡선은 실제 점이 없거나 타원 또는 원이거나 퇴화된 경우 단일 점으로 축소됩니다.판별자가 0이면 곡선은 포물선이고, 퇴화되면 이중선 또는 두 개의 평행선이 됩니다.판별식이 양수이면 곡선은 쌍곡선이고 퇴화되면 교차선 쌍입니다.

실제 사각형 표면

3차원의 유클리드 공간에서의 실제 4차원 표면은 3개의 변수에서 2차 다항식의 0으로 정의될 수 있는 표면이다.원추형 부분에는 자연히 정의될 수 있는 두 가지 판별자가 있다.둘 다 사각형 표면의 특성에 대한 정보를 얻는 데 유용합니다.

P $P(x,y,z)$ $P(x,y,z)$ $)$ { $displaystyle$ P $(x,y,z)}$ 를 $P(x,y,z)$ 실제 4차원 표면을 정의하는 3개의 변수에서 2차 다항식으로 $P(x,y,z)$ .첫 번째 연관된 2차 형식 $Q_{4},$ {\ $displaystyle Q_{4}$ 는 $Q_{4},$ 4개의 변수에 의존하며 P를 균질화함으로써 $얻을$ 수 있습니다.

Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t)

식별자를 $\Delta _{4}.$ 4로 나타냅니다 $.\$ $displaystyle$ \ $Delta$ _ { $4$ } 。 $}$

두 번째 2차 형식 $,$ { $displaystyle$ Q_{ $3}$ 은 $Q_{3},$ 세 가지 변수에 의존하며 $P$ 의 2차 항으로 구성됩니다.

({displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0))}

식별자를 $\Delta _{3}.$ 3으로 나타냅니다 $.\$ $displaystyle$ \ $Delta$ _ { $3$ } 。 $}$

$\Delta _{4}>0,$ 4 $\Delta _{4}>0,$ > $,$ \ $displaystyle \Delta$ _ ${4}>$ 0 $,}$ 및 표면에 $\Delta _{4}>0,$ 실점이 있는 경우 쌍곡선 포물면 또는 원시트 쌍곡선이다.두 경우 모두 이것은 모든 점에서 음의 가우스 곡률을 갖는 규칙 있는 표면입니다.

$\Delta _{4}<0,$ 4 $\Delta _{4}<0,$ < $\Delta _{4}<0,$ , $\Delta _{4}<0,$ { $displaystyle$ \ $Delta$ _ { $4$ } < $0$ , 0 , }의 $\Delta _{4}<0,$ 경우 표면은 타원체 또는 2장의 쌍곡선 또는 타원 포물면이다.모든 경우 모든 지점에서 양의 가우스 곡률을 가집니다.

$\Delta _{4}=0,$ 4 $=$ 이면 $,$ $(\displaystyle$ \ $Delta _{4}=$ 0 $\Delta _{4}=0,$ ,}) 표면에 무한대의 특이점이 있을 수 있습니다.단점이 하나뿐인 경우 표면은 원통형 또는 원뿔형입니다.여러 개의 단일 점이 있는 경우 지표면은 이중 평면 또는 단일 선이라는 두 개의 평면으로 구성됩니다.

$\Delta _{4}\neq 0,$ 4 $\Delta _{4}\neq 0,$ 0일 때 $\Delta _{4}\neq 0,$ $\Delta _{3},$ 3의 기호 $(\displaystyle \Delta$ _ ${4$ $}\neq$ 0 $,$ 0이 아닌 경우)는 $\Delta _{4}\neq 0,$ 유용한 정보를 제공하지 않습니다. P를 $-P$ 로 $변경$ 해도 표면이 변경되지 않고 $\Delta _{3}.$ 3 . $Delta _{3}$ 의 $\Delta _{3},$ $\Delta _{3}.$ 부호가 변경됩니다 $.$ $\neq$ 0 $}$ 및 $\Delta _{4}\neq 0$ $\Delta _{3}=0,$ 3 $=$ , ${\displaystyle$ \ $Delta _{$ 3}=0 $,}$ 표면은 $\Delta _{4}.$ 4의 부호에 따라 쌍곡선의 타원인 포물면입니다 $.$ \ $displaystyle \Delta$ _ ${4}.$ $}$

대수적 수 필드의 판별자

레퍼런스

^ "Discriminant mathematics". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-09.
^ Sylvester, J. J. (1851). "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants". Philosophical Magazine. 4th series. 2: 391–410.
실베스터는 406페이지에서 "차별자"라는 단어를 만들었다.
^ Wang, Dongming (2004). Elimination practice: software tools and applications. Imperial College Press. ch. 10 p. 180. ISBN 1-86094-438-8.
^ Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. p. 1. ISBN 3-7643-3660-9. Archived from the original on 2013-01-13.
^ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. ch. 1 p. 26. ISBN 3-540-24326-7.
^ Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10.3 pp. 153–154. ISBN 0-387-40397-3.
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^ 특성 2에서는 2차 형식의 판별자가 정의되지 않고 Arf 불변량으로 치환된다.
^ Cassels, J. W. S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. Vol. 13. Academic Press. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
^ Fanchi, John R. (2006). Math refresher for scientists and engineers. John Wiley and Sons. sec. 3.2, p. 45. ISBN 0-471-75715-2.

외부 링크

[1] "Discriminant mathematics". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-09.

[2] Sylvester, J. J. (1851). "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants". Philosophical Magazine. 4th series. 2: 391–410.
실베스터는 406페이지에서 "차별자"라는 단어를 만들었다.

[3] Wang, Dongming (2004). Elimination practice: software tools and applications. Imperial College Press. ch. 10 p. 180. ISBN 1-86094-438-8.

[4] Gelfand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. p. 1. ISBN 3-7643-3660-9. Archived from the original on 2013-01-13.

[5] Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. ch. 1 p. 26. ISBN 3-540-24326-7.

[6] Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10.3 pp. 153–154. ISBN 0-387-40397-3.

[7] Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156. ISBN 0-387-40397-3.

[8] 특성 2에서는 2차 형식의 판별자가 정의되지 않고 Arf 불변량으로 치환된다.

[9] Cassels, J. W. S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. Vol. 13. Academic Press. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.

[10] Fanchi, John R. (2006). Math refresher for scientists and engineers. John Wiley and Sons. sec. 3.2, p. 45. ISBN 0-471-75715-2.

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v t 다항식 및 다항식 함수
정도별	0 다항식(도가 정의되지 않았거나 -1 또는 -θ) 상수 함수(0) 선형 함수 (1) 선형 방정식 2차 함수 (2) 이차 방정식 세제곱 함수(3) 입방정식 4차 함수(4) 4차 방정식 5차 함수(5) 육분방정식(6) 패혈식(7)
속성별	일변량 이변량 다변량 단항식 이항 삼항식 환원 불가 정사각형 프리 균질한 준균질
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