유한단순군 분류

Classification of finite simple groups

수학에서 유한단순집단 분류는 모든 유한단순집단순환적이거나 교대로 이루어지거나, 또는 거짓말형의 집단이라고 하는 넓은 무한계급에 속하거나, 그렇지 않으면 산발적이라고 하는 스물여섯, 스물일곱 개의 예외 중 하나라고 명기한 집단 이론의 결과물이다. 그 증거는 약 100명의 저자들이 쓴 수백 개의 저널 기사에 수만 페이지로 구성되어 있으며, 대부분은 1955년에서 2004년 사이에 출판되었다.

단순 집단은 모든 유한 집단의 기본 구성 요소로 볼 수 있는데, 원시 집단자연수의 기본 구성 요소인 방식을 연상시킨다. 요르단-홀더 정리는 유한집단에 관한 이 사실을 보다 정확하게 진술하는 방법이다. 그러나 정수 인수와 유의한 차이는 이러한 "건물 블록"이 반드시 고유 그룹을 결정하는 것은 아니라는 것이다. 왜냐하면 동일한 구성 시리즈를 가진 비이형 그룹이 많거나 다른 방식으로 말하면 확장 문제가 고유한 해결책을 가지고 있지 않을 수 있기 때문이다.

고렌슈타인(1992년), 라이온스, 솔로몬은 점차적으로 증빙의 단순하고 수정된 버전을 출판하고 있다.

분류정리명세서

정리 — 모든 유한 단순 집단은 다음 집단 중 하나에 이형성이다.

유한단순군 분류

분류 정리는 유한집단의 구조(그리고 다른 수학적 물체에 대한 그들의 작용)에 관한 질문들이 때로는 유한한 단순집단에 대한 질문으로 축소될 수 있기 때문에 수학의 많은 분과에 응용이 있다. 분류 정리 덕분에 그런 질문은 단순 집단의 각 패밀리와 산발적인 집단을 확인함으로써 답할 수 있는 경우도 있다.

다니엘 고렌슈타인은 1983년 유한단순집단이 모두 분류됐다고 발표했지만, 콰시틴집단의 분류 증명에 대해 잘못 알고 있었기 때문에 시기상조였다. 분류에 대한 완성된 증거는 아스치바허와 스미스가 실종된 퀘이신 사건에 대한 1221쪽짜리 증거를 발표한 후 아스치바허(2004)에 의해 발표되었다.

분류 정리 증빙 개요

고렌슈타인(1982년, 1983년)은 그 증명의 낮은 계급과 이상한 특징적인 부분을 요약한 두 권의 책을 썼고, 마이클 애쉬바허, 리처드 라이온스, 스티븐 D. Smith 외 연구진(2011년)은 나머지 특성 2 사례를 다룬 제3권을 썼다. 그 증거는 다음과 같이 몇 가지 주요 조각으로 나눌 수 있다.

소규모 2계급 그룹

2등급이 낮은 단순 집단은 대부분 홀수 특성 분야보다 순위가 작은 리 유형의 집단으로 교대 5개, 특성 2개 유형 7개, 산발적인 그룹 9개 그룹이다.

소규모 2계급의 간단한 그룹에는 다음이 포함된다.

  • 2-등급 0의 그룹, 즉 Feit-에 의해 모두 해결 가능한 홀수 순서 그룹.톰슨 정리.
  • 2계급 1인조. 시로우 2 하위 그룹은 트랜스퍼 맵을 이용해 다루기 쉬운 주기적인 그룹이나 브라워-스즈키 정리로 처리되는 일반화된 쿼터니온 중 하나로, 특히 순서 2의 주기적인 그룹을 제외하고는 2 순위 1의 단순한 그룹이 없다.
  • 2계급 2인조. 알페린은 시로우 서브그룹이 반드시 디하이드랄, 퀘이디드랄, 화환, 또는3 U(4)의 시로우 2 서브그룹이어야 한다는 것을 보여주었다. 첫 케이스가 유일한 단순 군 L2(q)에q 또는 A7이상에, 두번째나 세번짼 사례가 유일한 단순 군 L3(q)또는 U3(q)에q 또는 양호한 이상한 책임이 있으며 지난 사건 라이언스는에 의해 행해졌다 동형이 암시하는 Alperin–Brauer–Gorenstein 정리에 의해 이루어졌을 것 같은 모양의 것으로 나타났다는 Gorenstein–Walter 정리에 의해 이루어졌다. showe3 U(4)만이 유일한 간단한 가능성이다.
  • 고렌슈타인-하라다 정리에 의해 분류된 최대 4개의 부분군 그룹.

소 2계급, 특히 기껏해야 2계급에 속하는 집단의 분류는 일반적, 모듈적 성격 이론을 많이 활용하는데, 분류에서는 거의 직접적으로 사용되지 않는다.

작은 2등급이 아닌 모든 그룹은 두 개의 주요 등급으로 나눌 수 있다: 구성 요소 유형의 그룹과 특성 2 유형의 그룹. 왜냐하면 어떤 그룹이 적어도 5개의 섹션 2 순위를 가지고 있다면, 맥윌리엄스는 그것의 Sylow 2 하위 그룹이 연결되어 있다는 것을 보여주었고, 균형 정리는 연결된 Sylow 2 하위 그룹을 가진 어떤 단순한 그룹이 구성요소 유형이나 특성 2 유형 중 하나라는 것을 암시하기 때문이다. (낮은 2-등급 그룹의 경우 t와 같은 정리들이 분해되기 때문이다.신호기 펑터 정리는 적어도 3등급의 초등 아벨리아 부분군을 가진 그룹에만 적용된다.)

구성 요소 유형 그룹

비자발성의 일부 중앙집중기 C대해 C/O(C)에 구성 요소(여기서 O(C)는 C의 핵심이며 홀수 순서의 최대 정규 부분군인 경우)는 구성 요소 유형이라고 한다. 이들은 다소간 큰 계급의 이상한 특징의 Lie 타입의 그룹들, 그리고 산발적인 그룹들과 함께 교대하는 그룹들이다. 이 경우에 있어서 주요한 단계는 비자발성의 핵심에 대한 방해물을 제거하는 것이다. 이것은 C/O(C)의 모든 구성요소가 C의 구성요소의 이미지라고 기술하는 B-theom에 의해 달성된다.

이러한 집단은 인덕션에 의해 이미 알려져 있는 것으로 가정할 수 있는 소규모의 퀘이시 이행 집단인 구성요소와 함께 비자발성의 중앙집중화기를 가지고 있다는 생각이다. 그래서 이러한 집단을 분류하기 위해서는 알려진 모든 유한한 단순 집단의 모든 중심 확장을 취하며, 이것을 구성요소로 하여 비자발성의 중심자를 가진 모든 단순 집단을 찾는다. 이렇게 되면 산발적인 26개 집단과 리 유형과 교대 그룹의 16개 집단이 있을 뿐만 아니라, 작은 직급이나 작은 분야의 많은 집단이 일반 사례와 다르게 행동하여 별도로 취급해야 하며, 짝수 및 홀수 c의 리 유형 집단이 이에 해당된다.Haracteristic 또한 꽤 다르다.

특성 2종류 그룹

모든 2-local 부분군 Y일반화된 Fitting 부분군 F*(Y)가 2-그룹인 경우 그룹은 특성 2 유형이다. 이름에서 알 수 있듯이, 이것들은 특징 2의 분야 위에 대략적으로 눕는 타입의 그룹들, 그리고 교대로 또는 산발적으로 또는 이상한 특징의 몇몇 다른 그룹들이다. 이들의 분류는 소순위와 대순위로 나뉘는데, 여기서 계급은 비종교적 2군단을 정상화하는 괴상한 아벨리아 부분군의 가장 큰 계급으로, 특징 2의 리형군일 때 흔히(항상 그렇지는 않지만) 카르탄 하위집단 계급과 같다.

1위 그룹은 아스치바허가 분류한 얇은 그룹, 2위 그룹은 아스치바허와 스미스가 분류한 악명 높은 콰시틴 그룹이다. 이는 특성 2의 필드 위에 있는 순위 1, 2의 Lie 타입의 그룹에 대략 해당한다.

3등급 이상 집단은 3등급 이상 집단이 3등급으로 세분화되며, 3등급은 아스커, 4등급은 고렌슈타인과 라이온스가 증명했다. 3개 등급은 GF(2)형(주로 팀메스펠트 분류), 일부 홀수 프라임(Gilman-Griess 정리 및 여러 사람에 의해 작업)을 위한 "표준형"의 그룹, 그리고 아슈바허의 결과가 단순한 그룹이 없음을 암시하는 고유성 유형의 그룹이다. 일반적인 상위 랭크 케이스는 등급의 특성 2 필드 위에 3 또는 4 이상의 Lie 타입의 그룹으로 구성된다.

단순 그룹의 존재와 고유성

분류의 주요 부분은 각 단순 집단의 특성화를 산출한다. 이어 각 특성화에 대해 단순한 그룹이 존재하며, 고유성이 있는지 확인할 필요가 있다. 이것은 많은 별개의 문제를 준다. 예를 들어, 괴물 집단의 존재와 고유성에 대한 최초의 증명서는 약 200페이지에 달하며, 톰슨과 봄비에리에리의 리 집단 식별은 분류에서 가장 어려운 부분 중의 하나였다. 많은 존재 증명과 산발적인 집단에 대한 몇몇 독특한 증명들은 원래 컴퓨터 계산을 사용했는데, 그 대부분은 그 이후 더 짧은 수작업 증명으로 대체되었다.

증거의 역사

고렌슈타인의 프로그램

1972년 고렌슈타인(1979년, 부록)은 유한단순집단의 분류 완료를 위한 프로그램을 발표하였는데, 다음과 같은 16단계로 구성되어 있다.

  1. 하위 2계급 그룹. 이것은 기본적으로 고렌슈타인과 하라다에 의해 이루어졌는데, 그는 이 그룹을 지역별로 2등급으로 분류하여 기껏해야 4등급이었다. 기껏해야 2위였던 경우는 고렌슈타인이 프로그램을 발표할 무렵이 대부분이었다.
  2. 2-레이어의 반간격성. 문제는 단순 집단의 비자발적 중심자의 2단계가 반실행적이라는 것을 증명하는 것이다.
  3. 홀수 특성의 표준 형태. 만일 어떤 집단이 2-성분의 리형 이상성분 그룹인 2-성분과의 비자발성을 가지고 있다면, 그 목표는 비자발성의 중심성을 "표준형식"에 가지고 있다는 것을 보여주는 것인데, 이는 비자발성의 중심자가 이상성분에서는 리형이고 또한 2-등급 1의 중심자를 가지고 있다는 것을 의미한다.
  4. 홀수 유형의 그룹 분류. 문제는 한 집단이 '표준형식'에서 비자발성의 중앙집중화기를 가지고 있다면 그것은 이상형의 거짓말형 집단이라는 것을 보여주는 것이다. 이것은 아슈바허의 고전적 비자발적 정리에서 해결되었다.
  5. 준표준형식
  6. 중앙 비자발
  7. 교대 그룹의 분류.
  8. 몇몇 산발적인 집단들
  9. 얇은 그룹. 홀수 p에 대해 최대 1의 2-로컬 p-랭크를 가진 단순 얇은 유한 집단은 1978년에 Aschbacher에 의해 분류되었다.
  10. p 홀수에 대해 p-임베드 하위 그룹이 있는 그룹
  11. 홀수 프리타임에 대한 신호기 펑터 방법. 가장 큰 문제는 해결할 수 없는 신호기 펑터에 대한 신호기 펑터 정리를 증명하는 것이다. 이것은 1982년 맥브라이드에 의해 해결되었다.
  12. 특성 p 유형의 그룹. 이는 아스치바허가 처리한 p-med 2-local subgroup이 p-messed로 강하게 p-membed한 그룹의 문제다.
  13. Quasithin 그룹. 퀘이신 그룹은 2-지역 부분군이 모든 홀수 p에 대해 p-등급이 최대 2인 그룹이며, 문제는 특성 2 유형의 단순 부분군을 분류하는 것이다. 이것은 2004년에 Aschbacher와 Smith에 의해 완성되었다.
  14. 낮은 2-로컬 3-랭크로 구성된 그룹. 이것은 본질적으로 e(G)=3을 가진 집단에 대한 아스치바허의 삼분법적 정리에 의해 해결되었다. 가장 큰 변화는 2-로컬 3-랭크가 홀수 p-랭크로 대체된다는 것이다.
  15. 표준 형태의 3원소 중앙집중기. 이것은 본질적으로 삼차분열 정리에 의해 행해졌다.
  16. 특성 2 유형의 단순 그룹 분류. 이것은 길만-그리스 정리에 의해 처리되었고, 3원소는 홀수 p-element로 대체되었다.

증빙 연대표

아래 목록에 있는 항목 중 상당수는 솔로몬(2001)에서 가져간 것이다. 주어진 날짜는 보통 결과의 완전한 증빙을 공표하는 날짜로, 경우에 따라 증빙이나 결과의 최초 발표보다 몇 년이 늦기 때문에 일부 항목은 "잘못된" 순서로 나타난다.

발행일자
1832 Galois는 정상 하위 그룹을 소개하고 단순 그룹 An(n ≥ 5)와 PSL2(Fp)를 찾는다(p ≥ 5).
1854 Cayley는 추상적인 그룹을 정의한다.
1861 마티외는 처음의 두 마티외 그룹11 M, M12, 최초의 산발적인 단순 집단을 묘사하고, M의 존재를24 발표한다.
1870 Jordan은 교대형 및 투영형 특수 선형 그룹과 같은 몇 가지 간단한 그룹을 나열하고 단순 그룹의 중요성을 강조한다.
1872 실로우는 실로우의 이론들을 증명한다.
1873 마티외는 마티외 그룹 M22, M23, M을24 추가로 소개한다.
1892 뮐더는 어떤 비아벨리안 유한단순집단의 순서가 적어도 4회(꼭 구별되는 것은 아님)의 프리임의 산물이어야 한다는 것을 증명하고, 유한단순집단의 분류를 요구한다.
1893 Cole은 660까지 간단한 주문 그룹을 분류함
1896 프로베니우스와 번사이드는 유한집단의 성격 이론 연구를 시작한다.
1899 번사이드(Burnside)는 단순 집단을 모든 비자발성의 중앙집중기가 비삼위적 초등 아벨리안 2그룹으로 분류한다.
1901 프로베니우스는 프로베니우스 그룹이 프로베니우스 커널을 가지고 있다는 것을 증명하고 있으므로, 특히 간단하지 않다.
1901 딕슨은 임의의 유한한 분야에 대해 고전적인 그룹을 정의하고, 기묘한 특성의 분야에 대해서는 G형2 예외적인 그룹을 정의한다.
1901 딕슨은 E형6 예외적으로 유한한 단순 집단을 소개한다.
1904 번사이드(Burnside)는 성격 이론을 사용하여, 어떤 비아벨리안 유한단순 집단의 순서는 적어도 3개의 구별되는 소수들로 나누어져야 한다는 번사이드의 정리를 증명한다.
1905 딕슨은 고른 특징의 분야 위에 G형의2 단순한 그룹을 소개한다.
1911 번사이드 추측에 따르면 모든 비아벨라 유한한 단순 집단은 고른 질서를 가지고 있다.
1928 홀은 해결 가능한 그룹의 홀 하위 그룹의 존재를 증명한다.
1933 홀은 p-그룹에 대한 그의 연구를 시작한다.
1935 Brauer는 모듈러 문자에 대한 연구를 시작한다.
1936 자센하우스는 유한한 3-변환 순열군을 분류한다.
1938 피팅은 피팅 부분군을 소개하고 해결 가능한 그룹의 경우 피팅 부분군이 그 중심기를 포함하고 있다는 피팅의 정리를 증명한다.
1942 브라워는 제1권력에 대한 프라임으로 구분할 수 없는 집단의 모듈형 문자를 묘사한다.
1954 Brauer는2 GLq(F)을 가진 단순 집단을 비자발성의 중심자로 분류한다.
1955 브루어-파울러 정리는 주어진 비자발성 중심자를 가진 유한단순집단의 수가 유한하다는 것을 암시하며, 비자발성의 중심자를 이용한 분류에 대한 공격을 시사한다.
1955 Chevalley4 특히 F8, E7, E 타입의 예외적인 간단한 그룹을 소개하면서 Chevalley 그룹을 소개한다.
1956 홀-히그만 정리
1957 스즈키는 홀수 순서의 모든 유한 단순 CA 그룹이 주기적이라는 것을 보여준다.
1958 브라워-스즈키-월 정리는 1등급의 투사적인 특수 선형 집단을 특징짓고, 단순 CA 집단을 분류한다.
1959 스타인버그는 스타인버그 집단을 소개하면서 D형4 E형6(후자는 Tits에 의해 거의 동시에 독립적으로 발견됨)의 새로운 유한 단순 집단을 제공한다.
1959 일반화된 쿼터니온 실로 2 하위그룹을 가진 집단에 대한 브루어-스즈키 정리는 특히 이들 중 어느 것도 단순하지 않다는 것을 보여준다.
1960 톰슨은 프라임 오더에 고정된 점 없는 자동형성을 가진 그룹이 영소성이라는 것을 증명한다.
1960 Feit, Marshall Hall, Thompson은 홀수 순서의 모든 유한한 단순 CN 그룹은 주기적이라는 것을 보여준다.
1960 스즈키는 B형2 스즈키 그룹을 소개한다.
1961 리씨는 F형4 G형을22 가진 리 그룹들을 소개한다.
1963 Feit과 Thompson은 이상한 순서 정리를 증명한다.
1964 Tits는 Lie type 그룹에 BN 쌍을 소개하고 Tits 그룹을 찾는다.
1965 고렌슈타인-발터 정리는 다이헤드랄 시로우 2 서브그룹으로 집단을 분류한다.
1966 Gloomberman은 Z* 정리를 증명한다.
1966 얀코는 약 1세기 동안 새로운 산발적인 집단인 얀코 그룹 J1을 소개한다.
1968 Gloomberman은 ZJ 정리를 증명한다.
1968 히그만과 심스는 히그만-심스 그룹을 소개한다.
1968 콘웨이콘웨이 그룹을 소개한다.
1969 월터의 정리는 아벨리안 시로우 2 서브그룹으로 집단을 분류한다.
1969 스즈키 산발적인 그룹, 얀코 그룹 J2, 얀코 그룹 J3, 맥러플린 그룹, 홀드 그룹 소개.
1969 고렌슈타인은 톰슨의 아이디어를 바탕으로 시그널라이저 펑커를 선보인다.
1970 맥윌리엄스는 3등급의 정상 아벨 하위그룹이 없는 2개 집단은 최대 4등급으로 단면 2등급이다.(후자 조건을 만족하는 시로우 하위집단을 가진 단순 집단은 이후 고렌슈타인과 하라다에 의해 분류되었다.)
1970 일반화된 피팅 부분군을 소개한 부분군
1970 알페린-브라우어-고렌슈타인 정리는 준직면 또는 화환형 시로우 2 서브그룹으로 집단을 분류하여 기껏해야 2등급의 단순 집단의 분류를 완성한다.
1971 피셔는 3개의 피셔 그룹을 소개한다.
1971 톰슨은 2차 쌍을 분류한다.
1971 부분군이 강하게 내장된 그룹을 벤더가 분류
1972 고렌슈타인은 유한한 단순 집단을 분류하기 위한 16단계 프로그램을 제안한다; 최종 분류는 그의 개요를 꽤 가깝게 따른다.
1972 라이온스는 라이온스 그룹을 소개한다.
1973 루드발리스는 루드발리스 그룹을 소개한다.
1973 피셔는 피셔와 그리스가 몬스터 그룹을 발견하기 위해 사용하는 아기 몬스터 그룹(미공개)을 발견하며, 이는 톰슨 산발적인 그룹으로, 노튼은 하라다-노튼 그룹으로 이끈다(하라다에서도 다른 방식으로 발견됨).
1974 톰슨은 N-그룹을 분류하고, 지역 하위그룹이 해결 가능한 모든 그룹을 분류한다.
1974 고렌슈타인-하라다 정리는 최대 4개의 단면 2-등급의 단순 집단을 분류하여 나머지 유한 단순 집단을 성분 유형의 집단과 특성 2 유형의 집단으로 나눈다.
1974 Tits는 BN 쌍 이상의 순위를 가진 그룹이 Lie 유형의 그룹임을 보여준다.
1974 Aschbacher는 그룹을 적절한 2-generated core로 분류한다.
1975 고렌슈타인과 월터는 L-균형 정리를 증명한다.
1976 Gloomberman은 해결 가능한 신호기 펑터 정리를 증명한다.
1976 Aschbacher는 일부 조건을 만족하는 홀수 유형의 집단이 표준 형태로 구성요소를 가지고 있다는 것을 대략 보여주면서 구성요소 정리를 증명한다. 표준형식의 구성요소를 가진 그룹들은 많은 저자들에 의해 많은 논문 모음으로 분류되었다.
1976 오난이 오난그룹을 소개한다.
1976 얀코는 마지막으로 발견된 산발적인 집단인 얀코 그룹 J4를 소개한다.
1977 아슈바허는 고전적 비자발적 정리에서 리 유형의 이상 특징을 특징으로 한다. 어떤 의미에서 단순한 집단의 "대부분"을 다루는 이 정리 이후, 일반적으로 분류의 끝이 보이는 것이 느껴졌다.
1978 Timmesfeld는 GF(2)형 집단의 분류를 몇 가지 더 작은 문제로 세분화하면서 O의2 특별한 정리를 증명한다.
1978 아슈바허는 얇은 유한집단을 분류하는데, 대부분이 짝수 특성 분야보다 Lie 타입의 1위 그룹이다.
1981 봄비에리는 분류의 가장 어려운 단계 중 하나인 리 그룹의 특성화에 관한 톰슨의 연구를 완성하기 위해 제거 이론을 사용한다.
1982 McBride는 모든 유한 그룹에 대한 신호기 펑터 정리를 증명한다.
1982 그리스는 몬스터 그룹을 손으로 구성한다.
1983 길만-그리스 정리는 특성 2형의 집단을 분류하고 3차 정리의 세 가지 사례 중 하나인 표준 성분으로 최소 4위를 차지한다.
1983 아슈바허는 특성 2형 집단에 대해 삼분법 정리가 부여한 세 가지 사례 중 하나인 고유성 사례의 가설을 만족시키는 유한 집단이 없음을 증명한다.
1983 고렌슈타인과 라이온스는 특성 2종류 그룹과 최소 4등급 그룹에 대한 삼차분열 정리를 증명하고, 아스치바허는 3등급의 경우를 증명한다. 이것은 이러한 그룹을 고유성 케이스, GF(2) 유형의 그룹, 표준 구성 요소를 가진 그룹의 세 가지 하위 사례로 나눈다.
1983 고렌슈타인은 퀘이신 사건의 증거가 불완전했기 때문에 다소 시기상조인 분류의 증거가 완성되었다고 발표한다.
1994 고렌슈타인, 라이온스, 솔로몬은 개정된 분류의 발행을 시작한다.
2004 애쉬바허와 스미스는 퀘이신 그룹(대부분 짝수 특징 분야보다 2등급이 가장 높은 Lie 타입의 그룹)에 대한 연구 결과를 발표하며, 당시 알려진 분류의 마지막 격차를 메웠다.
2008 하라다와 솔로몬은 M22의 슈르 승수 계산의 오류로 분류의 증명에서 실수로 누락된 경우, M22 그룹의 표지인 M22의 표준 성분으로 집단을 기술함으로써 분류의 사소한 공백을 메운다.
2012 Gonthier와 협력자들은 Feit-의 컴퓨터 검사 버전을 발표한다.톰슨Coq 증명 조수를 이용한 정리.[1]

제2세대구분

1985년경이나 그 무렵에 있었던 것처럼 정리의 증명은 1세대라고 할 수 있다. 1세대 증명서의 길이가 너무 길기 때문에, 2세대 분류 증명이라 불리는 더 간단한 증명서를 찾는데 많은 노력을 기울였다. '개념주의'라고 불리는 이 노력은 원래 다니엘 고렌슈타인이 주도했다.

2021년 현재 2세대 증빙서 9권이 발간되었다(고렌슈타인, 라이온스 & 솔로몬 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). 2012년에 솔로몬은 이 프로젝트에 5권이 더 필요할 것으로 추정했지만, 이들에 대한 진행은 더디다고 말했다. 이 새로운 증거는 결국 약 5천 페이지를 채울 것으로 추정된다. (이 길이는 부분적으로 2세대 교정쇄가 좀 더 여유로운 문체로 쓰여진 데서 기인한다.) 그러나, GLS 시리즈의 9권 발행과 함께, 그리고 Aschbacher-Smith 기여도 포함, 이 추정치는 이미 달성되었고, 몇 권의 더 많은 책들이 준비 중에 있었다(처음에는 9권, 10권, 11권 예상) 애쉬바허와 스미스는 퀘이신 사건에 대한 그들의 두 권을 2세대 증명서의 일부가 될 수 있는 방식으로 썼다.

고렌슈타인과 그의 협력자들은 더 간단한 증거가 가능한 몇 가지 이유를 제시했다.

  • 가장 중요한 것은 정리의 정확하고 최종적인 진술이 이제 알려졌다는 것이다. 유한 단순하다고 알려진 집단의 유형에 적합한 것으로 알려진 더 단순한 기법을 적용할 수 있다. 대조적으로 1세대 증명에 힘쓴 사람들은 산발적인 집단이 몇 개나 있는지 몰랐고, 사실 산발적인 집단(예: 얀코 집단)의 일부는 분류 정리의 다른 사례들을 증명하는 과정에서 발견되었다. 그 결과 정리의 많은 부분들은 지나치게 일반화된 기법을 사용하여 증명되었다.
  • 결론을 알 수 없었기 때문에 1세대 증명서는 중요한 특수한 경우를 다루는 많은 독립된 이론들로 구성되어 있다. 이러한 정리를 증명하는 작업의 상당 부분은 수많은 특수 사례의 분석에 할애되었다. 더 크고 조정된 증거를 고려할 때, 이러한 특수 사례들 중 많은 경우들을 다루는 것은 가장 강력한 가정이 적용될 수 있을 때까지 연기될 수 있다. 이 수정된 전략에 따라 지불되는 가격은 이러한 1세대 이론들이 더 이상 비교적 짧은 증거를 가지고 있지 않고 그 대신 완전한 분류에 의존한다는 것이다.
  • 많은 1세대 이론들이 겹치고, 따라서 가능한 사례를 비효율적인 방법으로 나눈다. 그 결과 유한단순집단의 패밀리와 하위가족을 여러 차례 확인하였다. 개정된 증빙은 다른 사례의 세분화에 의존하여 이러한 중복성을 제거한다.
  • 유한집단 이론가들은 이런 종류의 운동에 더 많은 경험을 가지고 있고, 마음대로 새로운 기술을 가지고 있다.

아슈바허(2004)는 울리히 메이어프랭켄펠트, 베른트 스텔마허, 게르노 스트로스, 그리고 그 외 몇몇의 3세대 프로그램들에 의한 분류 문제에 관한 작업을 불렀다. 이것의 한 가지 목표는 특성 2의 모든 집단을 아말감 방법을 사용하여 균일하게 처리하는 것이다.

증거가 왜 이렇게 길어?

고렌슈타인은 콤팩트한 그룹의 분류와 유사한 분류에 대한 짧은 증거가 없을 수 있는 몇 가지 이유에 대해 논의해 왔다.

  • 가장 분명한 이유는 단순 집단의 목록이 상당히 복잡하기 때문이다. 26개의 산발적인 집단이 있기 때문에 어떤 증거에서도 고려해야 할 특별한 경우가 많을 것이다. 지금까지 Dynkin 도표에 의한 컴팩트 Lie 그룹의 파라미터화와 유사한 유한한 단순 집단에 대한 깔끔한 획일적인 설명은 아직 아무도 찾아내지 못했다.
  • 아티야와 다른 사람들은 집단이 작용하는 어떤 기하학적 물체를 구성하고 이 기하학적 구조들을 분류함으로써 분류가 단순화되어야 한다고 제안했다. 문제는 이처럼 단순한 집단과 연관된 기하학적 구조를 쉽게 찾을 수 있는 방법을 제시하지 못한 사람이 없다는 점이다. 어떤 의미에서는 BN-pares와 같은 기하학적 구조를 찾아 분류하는 것이 효과가 있지만, 이것은 유한한 단순 집단의 구조에 대한 매우 길고 어려운 분석의 끝에서 오는 것일 뿐이다.
  • 증거를 단순화하기 위한 또 다른 제안은 대표이론을 더 잘 활용하자는 것이다. 여기서 문제는 표현 이론이 잘 작동하기 위해서는 집단의 하위집단에 대한 매우 엄격한 통제가 필요한 것처럼 보인다는 것이다. 소계급 집단의 경우 그러한 통제와 대표이론이 매우 잘 통하지만, 더 큰 계급을 가진 집단의 경우에는 아무도 분류를 단순화하기 위해 그것을 이용하는 데 성공하지 못했다. 분류 초기에는 대표이론을 활용하기 위해 상당한 노력을 기울였지만, 이것이 상위권 사례에서는 큰 성공을 거두지 못했다.

분류 결과

이 절에는 유한 단순 그룹의 분류를 사용하여 입증된 몇 가지 결과가 열거되어 있다.

참고 항목

메모들

  1. ^ a b F4(22n+1)의 리 그룹들의 무한 계열은 리 유형의 유한 그룹만을 포함한다. They are simple for n≥1; for n=0, the group 2F4(2) is not simple, but it contains the simple commutator subgroup 2F4(2)′. So, if the infinite family of commutator groups of type 2F4(22n+1)′ is considered a systematic infinite family (all of Lie type except for n=0), the Tits group T := 2F4(2)′ (as a member of this infinite family) is not sporadic.

참조

  1. ^ "Feit–Thompson theorem has been totally checked in Coq". Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Archived from the original on 2016-11-19. Retrieved 2012-09-25.
  2. ^ Cameron, P. J.; Praeger, C. E.; Saxl, J.; Seitz, G. M. (1983). "On the Sims conjecture and distance transitive graphs". Bull. London Math. Soc. 15 (5): 499–506. doi:10.1112/blms/15.5.499.

외부 링크