바이오-LGCA

계산 및 수학적 생물학에서 생물 격자-가스 세포 자동(BIO-LGCA)은 세포 자동화의 일종인 ^[1]생물학적 작용제를 이동 및 상호작용하기 위한 이산 모델이다. BIO-LGCA는 유체역학에서 사용되는 격자-가스 세포자동화(LGCA) 모델을 기반으로 한다. BIO-LGCA 모델은 세포와 다른 운동성 생물학적 물질을 이산 격자 위에서 움직이는 점 입자로 설명하여, 따라서 근처의 입자와 상호작용한다. 기존의 셀룰러 오토매틱 모델과는 달리, BIO-LGCA의 입자는 그 위치와 속도에 의해 정의된다. 이를 통해 밀도가 아니라 주로 모멘텀의 변화를 통해 매개되는 활성 유체와 집단 이주를 모델링하고 분석할 수 있다. 바이오-LGCA 적용은 암침입과^[2] 암 진행 등이 포함된다.^[3]

모델 정의

모든 세포 자동 모델과 마찬가지로 BIO-LGCA 모델은 격자 L ${\$ {$L$ 상태 공간 E ${\$ {$E$ 근린 N ${\$$mathcal$${N$ 규칙 R ${\$에 의해 정의된다.^[4]

• 격자(L ${\$는 가능한 모든 입자 위치 집합을 정의한다. 입자는 특정 위치만을 점유하도록 제한되며, 일반적으로 공간의 규칙적이고 주기적인 테셀레이션에서 기인한다. 수학적으로 L ⊂ R d ${\$subset$\mathb$ {$R}^d}$은 d {\$displaystyd}$ -차원 공간의 이산 하위 집합이다.
• 상태 공간(E ${\$은 모든 격자 부위 r ∈ L ${\$에 있는 입자의 가능한 상태를 설명한다. BIO-LGCA에서는 일반적인 셀룰러 자동 모델과는 반대로, 오타입자가 다른 단일 격자일 수 있다.단 하나의 셀만이 모든 격자 노드에 동시에 존재할 수 있다. 이는 주 공간을 기존의 셀룰러 자동 모델의 공간보다 약간 더 복잡하게 만든다(아래 참조).
• 근린(N ${\$은 격자 내 주어진 현장의 역학을 결정하는 격자 부위의 하위 집합을 나타낸다. 입자는 이웃에 있는 다른 입자와만 상호작용한다. 경계 조건은 유한 격자 경계에서 격자 현장의 인접 지역에 대해 선택해야 한다. 주변 환경 및 경계 조건은 일반 셀룰러 오토마타에 대한 조건과 동일하게 정의된다(셀룰러 오토매틱 참조).
• 규칙(R ${\$은 입자가 시간에 따라 이동, 증식 또는 소멸하는 방법을 지시한다. 모든 세포 자동화에 따라, BIO-LGCA는 별개의 시간 단계에서 진화한다. 시스템 역학을 시뮬레이션하기 위해 규칙은 매 단계마다 모든 격자 사이트에 동시에 적용된다. 규칙 적용은 격자 사이트의 원래 상태를 새 상태로 변경한다. 규칙은 업데이트할 격자 사이트의 상호 작용 인접 지역에 있는 격자 사이트의 상태에 따라 달라진다. BIO-LGCA에서 규칙은 확률론적 상호작용 단계와 결정론적 운송 단계로 구분된다. 상호작용 단계는 방향 전환, 출생 및 사망 과정을 시뮬레이션하며, 특별히 모델링된 과정을 위해 정의된다. 전송 단계는 입자를 속도 방향으로 인접 격자 노드로 변환한다. 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

상태 공간

입자 속도를 명시적으로 모델링하는 경우 격자 부위는 특정 하부 구조를 갖는 것으로 가정한다. Each lattice site ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$ is connected to its neighboring lattice sites through vectors called "velocity channels", ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$, ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,b\}}$, where the number of velocity channels ${\disp$$레이스타일 b}$은 가장 가까운 이웃의 수와 같으므로 격자 기하학(1차원 격자의 경우 b= 2 ${\displaystyle b=2},$ 2차원 육각 격자의 경우 b= 6 ${\displaystyle b=6}$ 등)에 따라 달라진다. In two dimensions, velocity channels are defined as ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)}$. Additionally, an arbitrary number ${\displaystyle a}$ of so-called "rest channels" may be defined, such that c i${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=(0,0)}$, ${\displaystyle i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}}$. A channel is said to be occupied if there is a particle in the lattice site with a velocity equal to the velocity channel. 채널 c i ${\$의 점거는 점수의 s i ${\$로 표시되며, 일반적으로 둘 이상의 입자가 격자 사이트에서 단일 속도 채널을 동시에 점유할 수 없도록 배제 원칙을 따르는 것으로 가정한다. 이 경우, 직업 번호는 부울 변수, 즉 s s S={ 0, 1}{\$displaystyle s_{i}\in${\$mathcal{S}=\{0,1$ 따라서 모든 채널은 최대 운반 용량 K= a+ b = ${\displaystyle K=a+b}$를 갖는다. Since the collection of all channel occupation numbers defines the number of particles and their velocities in each lattice site, the vector ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)}$ describes the state of a lattice site, and the state space is given by E =S K ${\$

규칙 및 모델 역학

격자 내 모든 현장의 상태는 모델 역학을 시뮬레이션하기 위해 이산 시간 단계에서 동시에 업데이트된다. 규칙은 두 단계로 나뉜다. 확률론적 상호작용 단계는 입자 상호작용을 시뮬레이션하는 반면, 결정론적 전달 단계는 입자 운동을 시뮬레이션한다.

상호작용 단계

특정 용도에 따라 상호작용 단계는 반응 및/또는 방향 조정 연산자로 구성될 수 있다.

반응 연산자 A ${\$은$($는) 전환 P(s→ S $) {\$ $\mathbf {s}{\mathcal{A})$에 이어 노드 s{\$displaysty \$$mathbf$${s}$의 상태를 새로운 상태로 대체한다$.$$\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathbf{A}\right$ $\$$mathbf$ {$s$$} _{\mathbf {$s}{\$mathcal{N$$}}}}}$ \mathbf {n$}}}}$ 주변 격자 부지의 상태에 따라 반응 프로세스에 미치는 영향을 시뮬레이션한다. 반응 연산자는 입자 수를 보존하지 않으므로 개인의 출생과 사망을 시뮬레이션할 수 있다. 반응 연산자의 전이 확률은 보통 현상학적 관찰에서 정의된다.

방향 변경 연산자 O ${\$ 또한 상태 s ${\$를) 새로운 상태 S ${\$$displaystyle$ $\mathbf {s}{\mathcal${$O$과(왼쪽)로 대체한다$.$$\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathbf {O}\right \mathbf {s} _{\mathcal{N}\right$ 그러나 이 연산자는 입자 번호를 보존하므로 속도 채널 사이에 입자를 재배포하여 입자 속도의 변화만 모형화한다. 이 운영자에 대한 전환 확률은 통계적 관측치(최대 구경 원리를 사용하여) 또는 알려진 단일 입자 역학(역학 역학을 기술하는 Langevin 방정식과 관련된 Fokker-Plank 방정식에 의해 주어진 분해된 정상 상태 각도 확률 분포를 사용하여)에서 결정할 수 있다.s)^[5][6] 및 일반적으로 형식을 취함

여기서 Z ${\displaystyle Z}$은 정규화 상수(파티션 함수라고도 함), H(s) ${\$는 입자가 운동 방향을 변경할 때 최소화할 것 같은 에너지와 같은 함수, β ${\displaysty \beta$ \beta}은 자유 매개 변수다.rsely proportional to the randomness of particle reorientation (analogous to the inverse temperature in thermodynamics), and ${\displaystyle \delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ is a Kronecker delta which ensures that particle number before ${$$\displaystyle n\left(\mathbf$ {$s} \right$$)$ 및 방향 전환 후 n(s) ${\$은(는) 변경되지 않는다.

The state resulting form applying the reaction and reorientation operator ${\displaystyle \mathbf {s} ^{{\mathcal {A}}\circ {\mathcal {O}}}}$ is known as the post-interaction configuration and denoted by ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {A}}\ci$$rc {\mathcal{O$

운송 단계

상호작용 단계 후 결정론적 전송 단계는 모든 격자 사이트에 동시에 적용된다. 운반 단계는 생물체의 자기 분출로 인해 그 속도에 따라 작용제의 움직임을 시뮬레이션한다.

During this step, the occupation numbers of post-interaction states will be defined as the new occupation states of the same channel of the neighboring lattice site in the direction of the velocity channel, i.e. ${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf$${r} )}$.

새로운 시간 단계는 상호작용과 전송 단계가 모두 발생했을 때 시작된다. 따라서 BIO-LGCA의 역학관계는 확률적 유한차이 미세역학 방정식으로 요약할 수 있다.

상호 작용 역학 예제

반응 및/또는 방향 조정 연산자의 전환 확률을 정의하여 모델링된 시스템을 적절히 시뮬레이션해야 한다. 일부 기본적인 상호작용과 그에 상응하는 전환 확률은 아래에 열거되어 있다.

무작위 보행

외부 또는 내부 자극이 없는 경우, 세포는 방향 선호도 없이 무작위로 움직일 수 있다. 이 경우, 방향 전환 연산자는 전환 확률을 통해 정의될 수 있다.

where ${\displaystyle Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$. Such transition probability allows any post-reorientation configuration ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ with 동일한 수의 입자를 선택할 사전 방향 설정 구성 s ${\$ }과(와) 동일하게 선택.

단순 출생과 사망 과정

유기체가 다른 개체와 독립적으로 번식하여 죽는 경우(한정 이동 수용량 제외), 간단한 출생/사망 과정은 다음이 제공하는 전환 확률로 시뮬레이션할^[3] 수 있다.

where ${\displaystyle r_{b},r_{d}\in [0,1]}$, ${\displaystyle r_{b}+r_{d}\leq 1}$ are constant birth and death probabilities, respectively, ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ is the Kronecker delta which ensures only one birth/death event happens every time step, and θ( x) ${\displaystyle \Theta(x)}$은 입자 번호가 양이고 운반 용량 K ${\displaystyle K}$에 의해 경계되도록 하는 Hubiside 함수다.

접착 상호작용

세포는 세포 표면의 캐더린 분자에 의해 서로 달라붙을 수 있다. 캐더린 상호작용을 통해 셀이 골재를 형성할 수 있다. 접착제 생체분자를 통한 셀 골재 형성은 변환 확률을 다음과 같이 정의한 방향 조정 연산자에 의해 모델링될^[7] 수 있다.

where ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ is a vector pointing in the direction of maximum cell density, defined as ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right$$)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)}$, where ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}}$is the configuration of the lattice site ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ within the neighborhood ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, and ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ is the momentum of the post-reorientation configuration, defined as ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\righ$$t)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal{O}\mathbf{c} _{j$ 이 전환 확률은 셀 밀도 구배를 향해 이동하는 셀이 있는 방향 전환 후 구성을 선호한다.

수학적 분석

이후, 한 확률agent-based 모델의 정확한 치료 빨리 모두 BIO-LGCA 모델 분석한 일반 메서드에 대한 개략적인, 결정성 유한 계차 방정식에 넣은 다음, 그 mathematica을 수행하는 것은 인구의 평균 역학을 설명하는(전이 중 이더넷)깁스를 하다 agents,[8]사이에 단계 높은 상관 관계 때문에 불가능하게 된다.나는이 근사 모형의 분석 및 결과를 원래의 BIO-LGCA 모델과 비교.

먼저 미세역학 방정식 s m(r+ c i, k+ 1)= s m I( r, $){\displaystyle s_{m}(\mathbf {r}$ + {$c}$ +$_{i}k+1)=s_{m}^{{I}}}(\mathbf {r},$의 기대값을 구한다.

여기서 ⟨ ⋅ \ ${\displaystyle \langle$\cdangle \cdot \$rangle }$은 기대값을 나타내며, f m(r ,k ) := : s m(r , k$){\$ $f_{m}\lef(\mathbf {r},k\rig):$$=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ is the expected value of the ${\displaystyle m}$-th channel occupation number of the lattice site at ${\displaystyle \mathbf {r} }$ at time step ${\displaystyle k}$. However, the term on the right, ${\displaystyle \le$$ft\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ is highly nonlinear on the occupation numbers of both the lattice site ${\displaystyle \mathbf {r} }$ and the lattice sites within the interaction neighborhood ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, due to the form of the transition probability P (${\$$\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathbf {I}\right \mathbf {s} _{\mathcal{N}\right})$ 및 속도 채널 내의 입자 배치 통계(예: 채널 직업에 부과된 제외 원리에서 발생) 이러한 비선형성은 관련된 모든 채널 직업들 사이의 고차 상관관계와 순간을 초래할 것이다. 대신, 평균 필드 근사치를 가정하며, 모든 상관관계와 높은 순서의 모멘트는 무시되며, 이를 통해 직접 입자-입자-입자 상호작용은 각각의 예상값과의 상호작용에 의해 대체된다. In other words, if ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ are random variables, and ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }$ is a function, then${\$$displaystyle \left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)}$ under this approximation. 따라서, 우리는 다음과 같은 방정식을 단순화할 수 있다.where ${\displaystyle {\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$ is a nonlinear function of the expected lattice site configuration ${\displaystyle \mathbf {f} \left(\mathbf$${r},k\right}$및 예상 인접 구성 f N(r, k) ${\$는 전환 확률 및 노드 내 입자 통계에 따라 달라진다.

이 비선형 FDE로부터 FDE에 대한 해결책인 r ${\$ 및 k ${\displaystyle k}$과(와) 독립적으로 몇 개의 동질적인 정상 상태 또는 상수를 식별할 수 있다. 이러한 안정 상태의 안정성 조건과 모델의 패턴 형성 가능성을 연구하기 위해 선형 안정성 분석을 수행할 수 있다. 이를 위해 비선형 FDE는 다음과 같이 선형화된다.

where ${\displaystyle \mathrm {ss} }$ denotes the homogeneous steady state ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}}$, and a von Neumann neighborhood was assumed. 그것을 시간적 증분만으로 보다 친숙한 유한차 방정식으로 주조하기 위해서, 이산 푸리에 변환을 방정식의 양쪽에 적용할 수 있다. 시프트 정리를 적용하고 왼쪽의 시간적 증분으로 용어를 분리한 후 격자-볼츠만 방정식을^[4] 얻는다.where ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ is the imaginary unit, ${\displaystyle L}$ is the size of the lattice along one dimension, ${\displaystyle \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ is the Fourier wave number, and ${\displaystyle {\hat {\cdot }}={\mathcal$${F}\{\cdot \}}$은(는) 이산 푸리에 변환을 나타낸다. In matrix notation, this equation is simplified to ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)}$, where the matrix ${\displaystyle \Gamma }$ is called the Boltzmann propagator and is defined as 볼츠만 전파기의 고유값 λ (q) ${\$은 안정 상태의 안정성 속성을 지시한다.^[4]

• ( )> ${\displaystyle \left \lambda \left(\mathbf {q} \right)\right >1$ 여기서 ⋅ $displaystyle$ $\$$cdot }$이(가) 계수를 나타내는 경우, 파동 번호 q ${\$ {$q}$이 시간에 따라 증가한다$.$ 만약λ(q지금 그녀를 x)>1{\displaystyle \left \lambda \left(\mathbf{q}_{\mathrm{max}}\right)\right 1}, 그리고 λ(q지금 그녀를 x)≥ λ(q)∀ q ∈{1,2,…, L}d{\displaystyle \left \lambda \left(\mathbf{q}_{\mathrm{max}}\right)\right\geq\left \lambda \left(\mathbf{q}\ri.ght))\$all \mathbf{q} \in \{1,2,\ldots,L\}^{d$ 그런 다음 파형 번호 q m a x ${\$를) 가진 동요가 지배하며 파장이 분명한 패턴을 관찰한다. 그렇지 않으면 안정 상태가 안정되고 어떤 동요도 붕괴될 것이다.
• r g [λ (q ) ] ≠ 0 ${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\$$rig$$)\right]\neq 0$ 여기서r g (⋅) ${\displaystystyleft \mat {arg}$ 인수를 나타내는 경우 동요가 이동되고 비역 모집단 행동이 관찰된다. 그렇지 않으면 인구는 거시적 수준에서 정적으로 보일 것이다.

적용들

생물학적 현상의 연구를 위한 BIO-LGCA를 구성하는 것은 주로 상호 작용 운영자에 대한 적절한 전환 확률을 정의하는 것을 포함하지만, 상태 공간의 정확한 정의(예를 들어, 여러 가지 세포 표현형), 경계 조건(제한된 조건에서의 모델링 현상), 인접(e와 일치하도록)은 고려한다.xperiment 상호작용 범위) 및 운반 용량(특정 세포 크기에 대한 혼잡 효과를 시뮬레이션하는 것)은 특정 용도에 중요할 수 있다. 앞서 언급한 통계적, 생물물리학적 방법을 통해 방향전환 연산자의 분포를 얻을 수 있지만, 예를 들어 시험관내 실험의 통계로부터 반응 연산자의 분포를 추정할 수 있다.^[9]

BIO-LGCA 모델은 여러 세포, 생물학 및 의학 현상을 연구하기 위해 사용되어 왔다. 일부 예는 다음과 같다.

• 혈관신생:^[10] 내피 세포와 BIO-LGCA 시뮬레이션 관찰을 이용한 체외 실험을 비교하여 혈관신생 과정과 그 무게를 측정하였다. 그들은 접착, 정렬, 접촉 유도, ECM 리모델링이 모두 혈관신생에 관여하는 반면, 장기적 상호작용은 이 과정에 필수적이지 않다는 것을 발견했다.
• 활성 유체:^[11] 극지방 정렬 상호작용을 통해 상호작용하는 입자 집단의 거시적 물리적 특성을 BIO-LGCA 모델을 사용하여 조사하였다. 초기 입자 밀도와 상호작용 강도를 증가시키면 균질하고 질서 정연하며 패턴이 있는 이동 상태로 2차 위상이 전환되는 것으로 밝혀졌다.
• 역학:^[12] 공간적 SIR BIO-LGCA 모델을 사용하여 다양한 예방접종 전략의 효과와 공간적 전염병을 비공간적 모델로 근사하게 하는 효과를 연구했다. 그들은 장벽형 예방접종 전략이 공간적으로 균일한 예방접종 전략보다 훨씬 더 효과적이라는 것을 발견했다. 게다가, 그들은 비공간적 모델들이 감염률을 크게 과대평가한다는 것을 발견했다.
• 세포 교란:^[13] 시험관내와 Bio-LGCA 모델은 유방암에서 전이성 행동을 연구하기 위해 사용되었다. 바이오-LGCA 모델은 전이가 셀 간 지속성 수준, ECM 밀도, 셀-ECM 상호작용에 따라 무작위 가스 유사, 고체 유사, 상관 유체 유사 상태 등 다양한 행동을 보일 수 있다고 밝혔다.

참조

외부 링크

• Bio-LGCA Simulator - 기본적인 상호작용을 개인화할 수 있는 매개변수 값을 가진 온라인 시뮬레이터.
• BIO-LGCA Python Package - BIO-LGCA 모델 시뮬레이션을 구현하기 위한 오픈 소스 Python 패키지.