Cinematică bidimensională sau mișcare într-un plan

Acest articol prezintă conceptele fundamentale necesare analizării mișcării obiectelor în două dimensiuni, fără a ține cont de forțele care provoacă accelerația implicată. Un exemplu de acest tip de problemă ar fi aruncarea unei mingi sau tragerea unei ghiulele. Presupune o familiaritate cu cinematica unidimensională , deoarece extinde aceleași concepte într-un spațiu vectorial bidimensional.

Alegerea coordonatelor

Cinematica implică deplasarea, viteza și accelerația care sunt toate mărimi vectoriale care necesită atât o mărime, cât și o direcție. Prin urmare, pentru a începe o problemă în cinematica bidimensională trebuie mai întâi să definiți sistemul de coordonate pe care îl utilizați. În general, va fi în termeni de axa x și axa y , orientate astfel încât mișcarea să fie în direcția pozitivă, deși pot exista anumite circumstanțe în care aceasta nu este cea mai bună metodă.

În cazurile în care se ia în considerare gravitația, se obișnuiește să se facă direcția gravitației în direcția negativă . Aceasta este o convenție care simplifică în general problema, deși ar fi posibil să efectuați calculele cu o orientare diferită dacă doriți cu adevărat.

Vector de viteză

Vectorul de poziție r este un vector care merge de la originea sistemului de coordonate până la un punct dat din sistem. Modificarea poziției (Δr , pronunțat „Delta r ”) este diferența dintre punctul de început ( _r1 ) și punctul final ( r2 ₎ . Definim viteza medie ( v _av ) ca:

v _av = ( r ₂ - r ₁ ) / ( t ₂ - t ₁ ) = Δ r /Δ t

Luând limita pe măsură ce Δ t se apropie de 0, obținem viteza instantanee v . În termeni de calcul, aceasta este derivata lui r în raport cu t , sau d r / dt .

Pe măsură ce diferența de timp se reduce, punctele de început și de sfârșit se apropie. Deoarece direcția lui r este aceeași direcție cu v , devine clar că vectorul viteză instantanee în fiecare punct de-a lungul căii este tangent la cale .

Componente de viteză

Trăsătura utilă a mărimilor vectoriale este că pot fi împărțite în vectorii lor componente. Derivata unui vector este suma derivatelor sale componente, prin urmare:

v _x = dx / dt
v _y = dy / dt

Mărimea vectorului viteză este dată de teorema lui Pitagora sub forma:

| v | = v = sqrt ( v _x ² + v _y ² )

Direcția lui v este orientată în grade alfa în sens invers acelor de ceasornic față de componenta x și poate fi calculată din următoarea ecuație:

tan alfa = v _y / v _x

Vector de accelerație

Accelerația este schimbarea vitezei într-o anumită perioadă de timp. Similar cu analiza de mai sus, aflăm că este Δ v /Δ t . Limita acesteia pe măsură ce Δ t se apropie de 0 dă derivata lui v în raport cu t .

În ceea ce privește componentele, vectorul de accelerație poate fi scris astfel:

a _x = dv _x / dt
a _y = dv _y / dt

sau

a _x = d ² x / dt ²
a _y = d ² y / dt ²

Mărimea și unghiul (notate ca beta pentru a se distinge de alfa ) ale vectorului de accelerație netă sunt calculate cu componente într-un mod similar cu cele pentru viteză.

Lucrul cu componente

Frecvent, cinematica bidimensională implică ruperea vectorilor relevanți în componentele lor x și y , apoi analizarea fiecărei componente ca și cum ar fi cazuri unidimensionale. Odată ce această analiză este completă, componentele vitezei și/sau ale accelerației sunt apoi combinate din nou împreună pentru a obține vectorii bidimensionali de viteză și/sau accelerație rezultați.

Cinematică tridimensională

Ecuațiile de mai sus pot fi extinse toate pentru mișcare în trei dimensiuni prin adăugarea unei componente z la analiză. Acest lucru este, în general, destul de intuitiv, deși trebuie avută o anumită atenție pentru a vă asigura că acest lucru este făcut în formatul adecvat, în special în ceea ce privește calcularea unghiului de orientare al vectorului.

Editat de Anne Marie Helmenstine, Ph.D.