Infimum for en mengde av tall er det største tallet slik at ingen tall i mengden er mindre. Dersom mengden har et minste element (minimum), er dette infimum for mengden. Da er infimum et element i mengden. For en mengde uten noe minste element vil ikke infimum være et element i mengden.
forkortes inf
Tilsvarende er supremum for en mengde det minste tallet slik at ingen tall i mengden er større.
Intervallet \(I=\{x\in{\mathbb R}\, |\, 0<x<1\}=(0,1)\) har ikke noe minste element, det vil si at minimum ikke eksisterer. Tallet \(0\), som ikke er med i intervallet, er infimum for \(I\), siden \(0\) er det største tallet som er mindre enn alle tallene i \(I\). Da skriver man \(0=\inf I\).
Hvis intervallet endres til \(J=\{x\in{\mathbb R}\, |\, 0\le x<1\}=[0,1)\), blir fortsatt \(0=\inf J,\) men her er \(0\in J\), det vil si at tallet \(0\), som er infimum, er med i intervallet. Det er også lik minimum, det vil si \(0=\inf J=\min J\).
En fundamental egenskap ved de reelle tallene er at hvis en delmengde \(M\subseteq {\mathbb R}\) er nedtil begrenset, det vil si at det fins et tall \(a\) slik at \(x>a\) for alle \(x\) i \(M\), så vil mengden ha et infimum, det vil si at \(\inf M\) eksisterer.
For de rasjonale tallene vil ikke dette utsagnet være riktig. Det vil si at en nedtil begrenset delmengde av de rasjonale tallene vil ikke nødvendigvis ha et infimum blant de rasjonale tallene.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.