Kardinalnost

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.

Kardinalnost množice $A\,$ se običajno označuje z $|A|\,$, kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še ${\overline {\overline {A}}}\,$ in # A.

Primerjava množic

• $|A|=|B|\,$. V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz $A\,$ v $B\,$).

Zgled: množica $E={0,2,4,6,\dots }\,$ nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica $N={0,1,2,3,\dots }\,$ naravnih števil, ker je funkcija $f(n)=2n\,$ bijektivna preslikava iz $N\,$ v $E\,$.

• $|A|\geq |B|\,$. V tem primeru ima množica $A\,$ večjo ali enako kardinalnost kot $B\,$, če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz $B\,$ v $A\,$.
• $|A|>|B|\,$. V tem primeru je kardinalnost množice $A\,$ večja od kardinalnosti množice $B\,$. To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice $B\,$ v množico $A\,$.

Kardinalno število

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

$\aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .$

Za vsako ordinalno število $\alpha \,$ je $\aleph _{\alpha +1}\,$ najmanjše kardinalno število večje od $\aleph _{\alpha }\,$ (oznaka $\aleph \,$ je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z $\aleph _{0}\,$, (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s ${\mathfrak {c}}\,$ in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja $c=2^{\aleph _{0}}\,$, kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}\,$. To pa pomeni,da je $2^{\aleph _{0}}\,$ najmanjše kardinalno število večje od ${\aleph _{0}}\,$. To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma

Kardinalnost kontinuuma se označuje s ${\mathfrak {c}}$. Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka $\aleph _{0}\,$). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}\!\,,$

kjer je:

• $\aleph _{0}\,$ kardinalnost naravnih števil (alef nič)
• $\beth \,$ število bet

Zunanje povezave

• Kardinalno število (angleško)
• Kardinalnost na PlanethMath Arhivirano 2011-06-04 na Wayback Machine. (angleško)
• Kardinalnost na MathWorld (angleško)
• Kardinalnost (angleško)