Kombinatorika

Kombinatorika je grana čiste matematike koja se bavi proučavanjem diskretnih (i obično konačnih) objekata. Povezana je sa mnogim drugim granama matematike, poput algebre, teorije verovatnoće, i geometrije, kao i sa raznim oblastima u računarstvu i statističkoj fizici. Aspekti kombinatorike uključuju prebrojavanje objekata koji zadovoljavaju određeni kriterijum (enumerativna kombinatorika), određivanje da li neki kriterijum može biti ispunjen, konstruisanje i analiziranje objekata koji ispunjavaju neki kriterijum, nalaženje najvećih najmanjih ili optimalnih objekata, i nalaženje algebarskih struktura u koje ovi objekti mogu spadati (algebarska kombinatorika).

Kombinatorika se podjednako tiče rešavanja problema kao i izgradnje teorija, mada je razvila moćne teorijske modele, pogotovo u drugom delu dvadesetog veka. Jedna od najstarijih i najčešće korišćenih oblasti kombinatorike je teorija grafova, koja takođe ima izuzetno brojne veze sa drugim oblastima.

Postoje mnoge kombinatorne šeme i teoreme u vezi sa strukturom kombinatornih skupova. One se obično fokusiraju na podelu ili uređenu podelu skupa.

Primer kombinatornog problema može biti: Na koliko načina je moguće urediti špil od 52 različite karte za igranje? Odgovor je 52! (52 faktorijel), što je približno jednako 8,0658 × 10⁶⁷.

Sledi primer malo komplikovanijeg problema: Ako je dato n ljudi, da li je moguće podeliti ih u skupove tako daje svaka osoba u najmanje jednom skupu, svaki par osoba je u tačno jednom skupu zajedno, svaka dva skupa imaju tačno jednu zajedničku osobu, i nijedan skup ne sadrži sve osobe, sve osim jedne osobe ili tačno jednu osobu? Odgovor zavisi od n.

Osnovni kombinatorni objekti

Permutacije

• Permutacije bez ponavljanja članova skupa:

$P={n!}$

gde je n broj elemenata skupa koji mogu biti izabrani.

• Permutacije sa ponavljanjem članova skupa:

$Pp={\frac {n!}{r!s!}}$

Varijacije (r-permutacije)

• Varijacije bez ponavljanja članova skupa:

$V=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)={\frac {n!}{(n-r)!}}={n \choose r}r!=Kr!$

gde je n broj elemenata skupa koji mogu biti izabrani, a r broj elemenata koji treba da budu izabrani.

• Varijacije sa ponavljanjem članova skupa:

$Vp=n^{r}\,\!$

gde je n broj elemenata skupa koji mogu biti izabrani, a r broj elemenata koji treba da budu izabrani.

Kombinacije

• Kombinacije bez ponavljanja članova skupa:

$K={\frac {n!}{r!(n-r)!}}={n \choose r}={n \choose {n-r}}$

gde je n broj elemenata skupa koji mogu biti izabrani, a r broj elemenata koji treba da budu izabrani.

• Kombinacije sa ponavljanjem članova skupa:

$Kp={{(n+r-1)!} \over {r!(n-1)!}}={{n+r-1} \choose {r}}={{n+r-1} \choose {n-1}}$

gde je n broj elemenata skupa koji mogu biti izabrani, a r broj elemenata koji treba da budu izabrani.

Literatura

• Grupa autora, „Matematika I Algebra“, Beograd 2004.
• O. Šlimlih i J. Majcen, „Logaritamske tablice“, Zagreb 1972.