Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций . Является обобщением пространств Лебега . Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича .
Пусть
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
[ 1]
N
{\displaystyle N}
[ 2]
N
{\displaystyle N}
G
{\displaystyle G}
Пространством Орлича
L
M
∗
{\displaystyle L_{M}^{*}}
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
(
u
,
v
)
=
∫
G
u
(
x
)
v
(
x
)
d
x
<
∞
{\displaystyle (u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty }
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
∫
G
N
[
u
(
x
)
]
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{G}N[u(x)]dx<\infty }
В пространстве Орлича задана норма Орлича :
‖
u
‖
M
=
sup
ρ
(
v
,
N
)
⩽
1
|
∫
G
u
(
x
)
v
(
x
)
d
x
|
{\displaystyle \|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|}
Пусть
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Пространством Орлича
L
M
∗
{\displaystyle L_{M}^{*}}
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
норму Люксембурга
‖
u
‖
(
M
)
=
inf
{
k
:
∫
G
M
(
u
(
x
)
k
)
d
x
⩽
1
}
.
{\displaystyle \|u\|_{(M)}=\inf\{k:\int _{G}M\left({\frac {u(x)}{k}}\right)dx\leqslant 1\}.}
Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой
u
{\displaystyle u}
‖
u
‖
(
M
)
⩽
‖
u
‖
M
⩽
2
‖
u
‖
(
M
)
.
{\displaystyle \|u\|_{(M)}\leqslant \|u\|_{M}\leqslant 2\|u\|_{(M)}.}
Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией .
L
M
∗
{\displaystyle L_{M}^{*}}
сепарабельно тогда и только тогда, когда функция
M
{\displaystyle M}
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
[ 3] Назовем классом Орлича
L
M
{\displaystyle L_{M}}
∫
G
M
[
u
(
x
)
]
d
x
<
∞
.
{\displaystyle \int _{G}M[u(x)]dx<\infty .}
L
M
∗
{\displaystyle L_{M}^{*}}
L
M
{\displaystyle L_{M}}
M
{\displaystyle M}
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
Пространством
E
M
{\displaystyle E_{M}}
L
M
{\displaystyle L_{M}}
M
{\displaystyle M}
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
E
M
=
L
M
=
L
M
∗
{\displaystyle E_{M}=L_{M}=L_{M}^{*}}
E
M
⊊
L
M
⊊
L
M
∗
{\displaystyle E_{M}\varsubsetneq L_{M}\varsubsetneq L_{M}^{*}}
L
M
∗
{\displaystyle L_{M}^{*}}
сопряженным пространством к
E
N
{\displaystyle E_{N}}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
Если
M
1
≺
M
2
{\displaystyle M_{1}\prec M_{2}}
[ 4]
L
M
2
∗
⊂
L
M
1
∗
{\displaystyle L_{M_{2}}^{*}\subset L_{M_{1}}^{*}}
Если
M
(
x
)
=
|
x
|
p
,
p
∈
(
1
,
∞
)
{\displaystyle M(x)=|x|^{p},\ p\in (1,\infty )}
L
M
∗
=
L
p
{\displaystyle L_{M}^{*}=L_{p}}
↑
N
{\displaystyle N}
M
(
u
)
=
∫
0
|
u
|
p
(
t
)
d
t
{\displaystyle M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt}
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)}
t
>
0
{\displaystyle t>0}
t
⩾
0
{\displaystyle t\geqslant 0}
p
(
0
)
=
0
,
p
(
∞
)
=
lim
t
→
∞
p
(
t
)
=
∞
{\displaystyle p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty }
↑ Взаимно дополнительными называются
N
{\displaystyle N}
M
(
u
)
,
N
(
v
)
{\displaystyle M(u),N(v)}
M
(
u
)
=
∫
0
|
u
|
p
(
t
)
d
t
,
N
(
v
)
=
∫
0
|
v
|
q
(
s
)
d
s
{\displaystyle M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt,N(v)=\int _{0}^{|v|}q(s)ds}
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)}
t
>
0
{\displaystyle t>0}
t
⩾
0
{\displaystyle t\geqslant 0}
p
(
0
)
=
0
,
p
(
∞
)
=
lim
t
→
∞
p
(
t
)
=
∞
{\displaystyle p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty }
q
(
s
)
{\displaystyle q(s)}
s
⩾
0
{\displaystyle s\geqslant 0}
q
(
s
)
=
sup
p
(
t
)
⩽
s
t
{\displaystyle q(s)=\sup _{p(t)\leqslant s}t}
↑
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
∃
x
0
∃
k
>
0
∀
x
>
x
0
:
M
(
2
x
)
⩽
k
M
(
x
)
{\displaystyle \exists x_{0}\ \exists k>0\forall x>x_{0}:\quad M(2x)\leqslant kM(x)}
↑
M
1
≺
M
2
{\displaystyle M_{1}\prec M_{2}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
k
{\displaystyle k}
M
1
(
x
)
⩽
M
2
(
x
)
∀
x
>
x
0
{\displaystyle M_{1}(x)\leqslant M_{2}(x)\quad \forall x>x_{0}}
Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит , 1958. — С. 271.
![{\displaystyle \int _{G}N[u(x)]dx<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bf4e1e54df43634075a1122d14fd35f13b3c93)
![{\displaystyle \int _{G}M[u(x)]dx<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903136883ecbea42f1be002a30e7aa91e2c27405)
