Правильный семиугольник

Семиугольник
Правильный семиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	7
Символ Шлефли	{7}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D7)
Площадь	${\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}$ $={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}$ $=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}$.
Внутренний угол	≈128.571°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный, изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный семиугольник — правильный многоугольник с семью сторонами.

Диагонали d1 и d2 связаны со стороной a правильного семиугольника соотношением 1/d1+1/d2=1/a.

Свойства

Построение правильного семиугольника с помощью невсиса

Пусть $t$ — сторона семиугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

$t=2R\sin {\frac {\pi }{7}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}~;~r=R\cos {\frac {\pi }{7}}$,

Периметр правильного семиугольника равен

$P=7t=14R\sin {\frac {\pi }{7}}=14r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}$.

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

$S={\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}$,

$S={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}$,

$S=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}$.

Построение

Приближённое построение правильного семиугольника

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки $A$ на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу $BOC$. Отрезок $BD={1 \over 2}BC$ и даст искомое приближение.

Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Семиугольные звёзды

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

• 
  Семиугольная звезда 7/2
• 
  Семиугольная звезда 7/3

Применение

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.