E8

O Gosset politopo dos 240 vetores do sistema de raízes

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E₈

Título a ser usado para criar uma ligação interna é E8.

Em matemática, E₈ é uma forma simples da Álgebra de Lie de 248 dimensões, a mesma notação é algumas vezes usada para as suas raízes.

O grupo E₈ foi formulado entre os anos de 1888 e 1890 por Wilhelm Killing, embora não chegue a provar sua existência, a qual foi primeiramente demonstrada por Élie Cartan.

A denominação E₈ provém da classificação de Killing e Cartan da complexa álgebra simples de Lie, que se divide em quatro famílias infinitas rotuladas A_n, B_n, C_n, D_n, e cinco casos excepcionais marcados E₆, E₇, E₈, F₄, e G₂.

A álgebra E₈ é a maior e mais complicada deste grupo, e é frequentemente a última a ter seus teoremas provados.

Descrição básica

E₈ possui rank 8 e 248 dimensões. Os vetores da raiz do sistema estão em oito dimensões, especificadas mais adiante neste artigo. O grupo Weyl de E₈, que age como um grupo de simetria de máximo torus por meio do conjugado de funcionamento do grupo, é da ordem 696.729.600.

E₈é o único dos grupos de Lie que sua não-trivial representação de menor dimensão é a representação adjunta (de 248 dimensões) sobre a álgebra de Lie que atuam em si mesma, é também o único que tem as seguintes três propriedades: centro trivial, simplesmente ligado, e simplesmente Laçado (todas as raízes têm o mesmo comprimento). Existe uma álgebra de Lie E_n para cada inteiro n maior ou igual a 3, que é dimensionalmente infinito se n for superior a 8.

Forma Real

O complexo do grupo de Lie E₈ de 248 dimensões complexas pode ser considerado como um simples grupo de Lie real de 496 dimensões, que é simplesmente ligado, tem o máximo compacto subgrupo de forma compacta E₈, e tem um grupo de automorfismo ordem 2 gerado pelo conjugado complexo.

O grupo de Lie complexo tipo E₈ possui três formas reais, todos de 248 dimensões reais, como segue:

• Uma forma compacta (que é caso normal se outra informação não é dada), que está simplesmente ligada e tem grupo automorfismo trivial afastado.
• Uma forma fracionada, que tem máximo subgrupo compacto Spin(16)/(Z/2Z), grupo fundamental de ordem 2, e uma não-algébricas dupla capa e tem grupo automorfismo trivial afastado.
• Uma forma, que tem subgrupo máximo compacto E₇×SU(2)/(−1×−1), grupo fundamental de ordem 2, e uma dupla capa não-algébrica e tem grupo automorfismo trivial afastado.

Para uma lista completa de formas reais simples da Álgebra de Lie, veja a lista de grupos de Lie simples.

Representação da teoria

Os coeficientes da fórmula para representação de infinito dimensional irredutível de E₈ dependem de grandes matrizes formadas por polinômios, os polinômios de Lusztig-Vogan, análogos de polinômios de Kazhdan-Lusztig introduzidos para reduzir grupos em geral por George Lusztig e David Kazhdan ( 1983). Os valores do primeiro polinômio de Lusztig-Vogan fornecem os coeficientes das matrizes referentes às representações padrão com as representações irredutíveis.

Essas matrizes foram calculadas após quatro anos de colaboração de um grupo de 18 cientistas matemáticos e informáticos, liderado por Jeffrey Adams, com grande parte da programação feita por Fokko du Cloux. O mais difícil caso é o desdobramento da forma real de E₈, onde a matriz é de dimensão 453060 × 453060. O polinômio de Lusztig-Vogan para todos os outros grupos foi conhecidos há algum tempo, o cálculo para E₈ é mais longo que em qualquer outro caso.

O anúncio do resultado, em Março de 2007, recebeu extraordinária atenção dos meios de comunicação social, para a surpresa dos matemáticos que trabalhavam nele.

Construçao

Pode-se construir o (forma compacta) grupo E₈ como o grupo automorfismo do correspondente e₈ álgebra de Lie. Esta álgebra tem subálgebra 120-dimensional gerada pela J_ij, bem como 128 novos geradores Q_a que transformam um Weyl-Majorana spinor de spin(16).

Estas declarações determinam os comutadores

$[J_{ij},J_{k\ell }]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}$

bem como

$[J_{ij},Q_{a}]={\frac {1}{4}}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})_{ab}Q_{b},$

enquanto os restantes comutadores (não anticommutator!) são definido como

$[Q_{a},Q_{b}]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.$

É então possível verificar que a identidade Jacobi está satisfeita.

Ver também

• Álgebra de Lie
• Teoria E8

Ligações externas

Ligações relacionada com o cálculo do polinômio de Lusztig-Vogan:

• «Atlas de grupos de Lie» ;
• «Kazhdan-Lusztig-Vogan para Polinômios E₈» 
• D. Vogan, Narrativa do Projeto para calcular Kazhdan-Lusztig para Polinômios E₈
• D. Vogan, Como anotou um 453060 × 453060 Matrix e achou felicidade para uma palestra sobre popular.
• «Representação gráfica da raíz de sistema E₈» 
• «E8Flyer»  - Uma ferramenta de investigação interativa baseada no free Mathematica Notebook Player.