Corpo (matemática)
Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.
Definição formal
[editar | editar código-fonte]Mais formalmente, um anel comutativo com unidade é chamado de corpo se:
Resulta da comutatividade de que o da definição anterior também satisfaz a condição Por outro lado, só pode haver um único naquelas condições. De facto, se e forem tais que então
Este elemento designa-se por inverso de e representa-se por
Um corpo não tem divisores de zero. Efectivamente, se e forem dois elementos de diferentes de então ≠ pois
- ≠ 0.
Mas se se tivesse então ter-se-ia
Exemplos e contra-exemplos de Corpos
[editar | editar código-fonte]Exemplos
[editar | editar código-fonte]- Os números complexos [1] e seus subcorpos, entre os quais:
- o corpo dos números racionais [1]
- o corpo dos números algébricos;
- o corpo dos números reais [1]
- o menor corpo, formado pelos números e em que Este conjunto com as operações de adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de anel, é comutativo e tem unidade. Além disso, como em qualquer anel com unidade, é o elemento inverso de
- onde p é um número primo. Como conjunto,
A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em então (respectivamente ) é o resto da divisão por da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros e
- os números hiperreais, uma extensão de que inclui infinitesimais.
- os números surreais[2]
< H : >
Contra-exemplos
[editar | editar código-fonte]- quando não é um número primo, não é um corpo, pois tem divisores de zero.
- Os quaterniões não formam um corpo, porque a multiplicação não é comutativa.
Característica
[editar | editar código-fonte]Dado um corpo considere-se a sucessão … Há duas possibilidades.
- Todos os termos da sucessão são diferentes de Diz-se então que o corpo tem característica
- Alguns termos da sucessão são iguais a Diz-se então que o corpo tem característica onde é o menor número natural tal que ··· ( vezes) = 0.
O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica para cada número primo o corpo Zp tem característica
Se um corpo tem característica então é um número primo. De facto, a função
é tal que se e são números naturais, então Por outro lado, se tiver característica então Se não fosse primo, tinha-se com e números naturais menores do que pelo que Mas então ou Isto é impossível pois, por definição, é o menor número natural tal que
Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo e um isomorfismo de corpos (p = 0) ou (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.
Corpos de fracções
[editar | editar código-fonte]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Seja um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar num corpo Basta definir em × \ a seguinte relação de equivalência ∼:
- ∼ se e só se
Se for um elemento de × \ seja a sua classe de equivalência. Seja o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de e as seguintes operações:
Então é um corpo e a função
é uma função injectiva de em O corpo designa-se por corpo de fracções do anel [3]
Exemplos:
- O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros.
- Seja um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de em C.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Teoria dos corpos
- Corpo topológico, em que a estrutura de espaço topológico deve ser tal que garanta a continuidade de várias operações do corpo
- Corpo ordenado, em que existe uma relação de ordem total compatível com as operações de corpo
Notas e referências
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra (em inglês). 1. New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809