Teoria węzłów

Węzeł trójlistny (trójlistnik albo *koniczynka* oznaczony jako 3₁) to najprostszy węzeł nietrywialny

Przykład supła trywialnego oznaczanego jako (0)

Teoria węzłów – dział topologii zajmujący się badaniem związanym z zagadnieniami i własnościami węzłów i splotów, a także supłów zaproponowanych przez Johna H. Conwaya^[1].

Węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane krzywe z połączonymi końcami. Mówiąc inaczej węzeł to homeomorficzny obraz okręgu zanurzonego w przestrzeni 3-wymiarowej R³.

Splot to suma skończonej ilości węzłów wzajemnie rozłącznych, zwanych składowymi splotu, które mogą być zasupłane i splecione ze sobą. Węzeł jest splotem o jednej składowej, a splot jest sumą okręgów parami rozłącznych. Kilka węzłów tworzy splot, a poszczególne węzły nazywane są jego ogniwami. Sam węzeł zatem jest szczególnym przypadkiem splotu.

Podstawowym problemem teorii węzłów jest klasyfikacja węzłów i ich rozróżnianie.

Najprostszym węzłem jest tzw. węzeł trywialny czyli okrąg (inaczej pętla trywialna, zwany też niewęzłem i oznaczony przez 0₁). Pełną klasyfikację węzłów do 9. rzędu opracował w końcu lat 20. XX wieku Kurt Reidemeister^[2]^[3].

W 1928 roku James W. Alexander przyporządkował węzłom pewne wielomiany^[4].

W 1984 roku nowozelandzki matematyk Vaughan F. R. Jones odkrył niezmiennik i oznaczył V, a obecnie znany jest jako wielomian Jonesa. Jones przypisał każdemu splotowi zorientowanemu wielomian Laurenta, przez co odkrył zaskakujące związki między algebrą operatorów i teorią węzłów i podał proste niezmienniki charakteryzujące węzły. Za prace nad teorią węzłów otrzymał w 1990 roku Medal Fieldsa.

W 1985 roku grupa matematyków w składzie: J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. J. Freyd, W. B. R. Lickorish, D. N. Yetter^[5] oraz w 1987 roku Józef Przytycki, Paweł Traczyk^[6], odkryła inny niezmiennnik zwany wielomianem HOMFLY-PT (nazwa od inicjałów autorów).

Zastosowania

Teoria węzłów odgrywa istotną rolę przy badaniu rozmaitości trójwymiarowych.

Teoria węzłów znalazła zastosowanie w rozmaitych dziedzinach życia takich jak analiza obwodów elektrycznych, kryptografia czy mechanika statystyczna. W biologii molekularnej i chemii supramolekularnej węzłów używa się też do opisu struktur DNA i białek.

Zobacz też

Teoria warkoczy

Przypisy

↑ Conway J.: An enumeration of knots and links and some of their related properties. Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967 (Ed. J. Leech), 329-358. New York: Pergamon Press, 1970
↑ Reidemeister K.: Knotentheorie. Berlin: Springer Verlag, 1932
↑ Węzłów teoria, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-23] .
↑ Alexander, J. W. (1928). "Topological invariants of knots and links". Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123.
↑ J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. Freyd, W. B. R. Lickorish and D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985) 239-246.
↑ J. Przytycki and P. Traczyk, Conway Algebras and Skein Equivalence of Links, Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987) 744-748.

Bibliografia

Książki

RomanR. Duda RomanR., Wprowadzenie do topologii, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, ISBN 83-01-05714-9, OCLC 835906814 .
Louis H.L.H. Kauffman Louis H.L.H., Knots and Physics, wyd. 2nd ed, Singapore: World Scientific Publishing Co Ltd, 1993, ISBN 981-02-1656-4, OCLC 30675365 .
Charles Livingston, Knot Theory, Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1993, ISBN 0-88385-027-3.
Józef H.J.H. Przytycki Józef H.J.H., Węzły: Podejście kombinatoryczne do teorii węzłów, Warszawa: „Script”, 1995, ISBN 83-904564-0-0, OCLC 835322498 .
HugoH. Steinhaus HugoH., Kalejdoskop matematyczny, JózefJ. Łukaszewicz (oprac.), Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1989, ISBN 83-02-02326-4, OCLC 749380384 .

Czasopisma

Lee Neuwirth, The Theory of Knots, Scientific American, No. 6, 1979, s. 84-96.
F. Y. Wu, Knot theory and statistical mechanics, Reviews of Modern Physics, Vol. 64, No. 4, October 1992.

Linki zewnętrzne

Teoria węzłów, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 9 października 2017 [dostęp 2024-09-04].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Knot Theory, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Knot theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
How The Most Useless Branch of Math Could Save Your Life (ang.), kanał Veritasium na YouTube, 3 września 2023 [dostęp 2023-09-06] – krótka historia teorii węzłów i jej zastosowań.

[1] Conway J.: An enumeration of knots and links and some of their related properties. Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967 (Ed. J. Leech), 329-358. New York: Pergamon Press, 1970

[2] Reidemeister K.: Knotentheorie. Berlin: Springer Verlag, 1932

[3] Węzłów teoria, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-23] .

[4] Alexander, J. W. (1928). "Topological invariants of knots and links". Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123.

[5] J. Hoste, A. Ocneanu, K. Millett, P. Freyd, W. B. R. Lickorish and D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985) 239-246.

[6] J. Przytycki and P. Traczyk, Conway Algebras and Skein Equivalence of Links, Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987) 744-748.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]