Pierwiastnik

Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Pierwiastnikiem względem liczb $x,y$ oraz $\pi$ jest np. ${\sqrt[{5}]{x+{\sqrt {\pi y+x}}}}.$ Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Definicja formalna

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)

Liczbę zespoloną $z$ można przedstawić za pomocą pierwiastników, jeśli istnieją liczby zespolone $z_{1},\dots ,z_{n}$ oraz liczby naturalne $k_{1},\dots ,k_{n}$ takie, że kładąc

$K_{0}=\mathbb {Q}$ (ciało liczb wymiernych), $K_{i}=K_{i-1}(z_{i})$ (rozszerzenie ciała $K_{i-1}$ o element $z_{i}$) dla $i=1,\dots ,n$

będziemy mieli

• $z_{i}^{k_{i}}\in K_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,\dots ,n$ oraz $z\in K_{n}.$

Liczbę $k=\max\{k_{1},\dots ,k_{n}\}$ nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy $\mathbb {Q}$ przez pewne ciało $K\subseteq \mathbb {C} ,$ to otrzymamy definicję przedstawialności liczby $z$ w pierwiastnikach nad ciałem $K.$ Jeśli $K=\mathbb {Q} (a_{1},\dots ,a_{m}),$ to powiemy, że $z$ jest przedstawialna w pierwiastnikach względem $a_{1},\dots ,a_{m}$.

Definicja 2 (ogólniejsza)

Niech $K$ będzie ciałem o charakterystyce 0. Element $a$ jest pierwiastnikowy względem ciała $K$ (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała $K$), gdy istnieje ciąg ciał $K=K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{r}$ oraz $a\in K_{r},$ dla których zachodzi warunek:

• dla $i=1,2,\dots ,r$ ciało $K_{i}$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci $x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x].$

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała $K$ oznacza się zwykle przez $r(K)$ i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała $K$.

Jeśli $K$ jest ciałem charakterystyki $p>0,$ to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

• dla $i=1,2,\dots ,r$ ciało $K_{i}$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci $x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x],$ gdzie $p\not \operatorname {|} n_{i},$ albo wielomianu postaci $x^{p}-x-a_{i}\in K_{i-1}[x]$.

Własności

• Zbiór $r(K)$ jest ciałem.
• Każdy element pierwiastnikowy względem $r(K)$ należy do $r(K)$.
• Jeśli $p,q\in \mathbb {Q}$ oraz równanie

$z^{3}+pz+q=0$

nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.

• Jeżeli $p$ i $q$ są liczbami pierwszymi, to równanie $x^{p}-2qx-q=0$ nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem $\mathbb {Q}$.

Znaczenie i użycie

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała $\mathbb {Q}$ (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki.

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.