Operacja n-arna

Operacja $n$-arna (działanie $n$-arne) $\omega$ w zbiorze $G$ – w algebrze, funkcja, która dla ustalonego $n\geq 0$ każdemu $n$-elementowemu ciągowi $(a_{1},\dots ,a_{n})$ elementów ze zbioru $G$ przyporządkowuje pewien element $\omega (a_{1},\dots ,a_{n})$ także ze zbioru $G.$ Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie ze zbioru $G^{n}=G\times \dots \times G$ ($n$-krotnego iloczynu kartezjańskiego) w zbiór $G.$

Operacją 1-arną (unarną) jest każde odwzorowanie zbioru $G$ w zbiór $G.$ Operacja 0-arna ustala w zbiorze $G$ pewien określony element.

Zamiast o operacjach $n$-arnych mówi się często o operacjach $n$-argumentowych lub działaniach $n$-argumentowych. Na przykład o działaniach dwuargumentowych, trzyargumentowych itd. Operacjami 0-arnymi są na przykład elementy neutralne działań.

Operacja $n$-arna jest podstawowym pojęciem algebry ogólnej, zajmującej się tzw. algebrami uniwersalnymi (krócej algebrami), zbiorami $A$ wyposażonymi w pewien zbiór $\Omega$ operacji $n$-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą uniwersalną.

Operacje n-arne w arytmetyce

• Elementy neutralne dodawania (zero) i mnożenia (jedynka) w zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych są operacjami 0-arnymi.
• Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie całkowitej jej kwadrat jest operacją unarną na zbiorze $\mathbb {Z} .$ Podobnie pierwiastek kwadratowy jest operacją unarną na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich $\mathbb {R} _{+}$ (ale nie na zbiorze liczb rzeczywistych, ani wymiernych, ani całkowitych) oraz na zbiorze liczb zespolonych $\mathbb {C} .$
• Element odwrotny jest operacją 1-arną na każdym ze zbiorów: $\mathbb {Q} ^{*}=\mathbb {Q} \setminus \{0\},\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\},\mathbb {Z} ^{*}=\mathbb {Z} \setminus \{0\}.$
• Działania dodawania, odejmowania i mnożenia są operacjami 2-arnymi na każdym ze zbiorów: $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Z} .$ Dzielenie jest operacją 2-arną na każdym ze zbiorów: $\mathbb {Q} ^{*},\mathbb {R} ^{*},\mathbb {Z} ^{*}.$

Operacje n-arne w algebrze

• Półgrupa jest zbiorem z operacją 2-arną łączną.
• Monoid jest półgrupą z elementem neutralnym, który jest operacją 0-arną.
• Grupa jest zbiorem, w którym można wyróżnić operację 2-arną (działanie grupy), operację 1-arną (element odwrotny działania) i operację 0-arną (element neutralny). Są także inne sposoby określania grupy. Wystarczy określić na zbiorze jedną operację 2-arną – dzielenie (jeśli grupa jest multiplikatywna, czyli jej działanie jest mnożeniem).
• Grupę $G$ można rozpatrywać jako zbiór $G$ ze zbiorem operacji 1-arnych

$\{l_{g}\colon G\to G\colon \forall _{h\in G}\;l_{g}(h)=gh\},$ gdzie $g\in G.$

• Pierścień jest zbiorem, w którym można wyróżnić dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), jedną operację 1-arną (element przeciwny) i operację 0-arną (zero). W pierścieniu z jednością można wyróżnić drugą operację 0-arną – jedynkę. O mnożeniu zakłada się co najmniej, że jest łączne i rozdzielne względem dodawania.
• Ciało $K$ jest zbiorem, na którym określone są dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), operacja 1-arna (element przeciwny), dwie operacje 0-arne (0 i 1). Ponadto na zbiorze $K^{*}$ określona jest operacja 1-arna (element odwrotny).

Operacje n-arne w geometrii

• Iloczyn mieszany trzech wektorów w przestrzeni 3-wymiarowej jest operacją 3-arną na zbiorze wszystkich wektorów tej przestrzeni.

Mnożenie n-arne macierzy n-wskaźnikowych

Macierz $n$-wskaźnikowa $A$ zawiera $n$ wskaźników przebiegających $m$ wartości. Taka macierz zawiera $m^{n}$ elementów macierzowych o wartościach zespolonych,

$a_{k_{1},\dots ,k_{n}}.$

Mnożenie (iloczyn) macierzy $n$-wskaźnikowych zdefiniowane jest jako $n$-arne działanie wewnętrzne dla dokładnie $n$ macierzy, z których każda ma $n$ wskaźników przebiegających $m$ wartości. Każda macierz zawiera $m^{n}$ wartości. Wynikiem jest również macierz $n$-wskaźnikowa.

Jeżeli $B=A^{(1)}A^{(2)},\dots ,A^{(n-1)}A^{(n)},$ a $b_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}$ oznacza element $B$ na pozycji $(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}),$ to

$b_{k_{1},\dots ,k_{n}}=\sum _{l_{1},\dots ,l_{n-1}=1}^{m}a_{k_{1},l_{1}\dots ,l_{n-1}}^{(1)}*a_{l_{n-1},k_{2},l_{1}\dots ,l_{n-2}}^{(2)}*\ldots *a_{l_{2},\dots ,k_{n-1},l_{1}}^{(n-1)}*a_{l_{1},l_{2},\dots ,k_{n}}^{(n)}$

dla każdego wskaźnika $k_{i},l_{j},$ dla których $1\leqslant k_{i}\leqslant m$ oraz $1\leqslant l_{j}\leqslant m.$

Bibliografia

• Aleksiej Pogorełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983. (ros.). Brak numerów stron w książce
• А.Г. Курош (Kurosz): Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11. (ros.).