Miara Diraca

Miara Diraca – miara, która zbiorowi (mierzalnemu) $A$ przestrzeni mierzalnej $X$ przypisuje wartość 1, jeżeli $A$ zawiera ustalony punkt $x$ należący do $X;$ w przeciwnym wypadku miara Diraca zbioru $A$ wynosi 0.

Definicja

Diagram pokazuje wszystkie podzbiory zbioru $\{x,y,z\}.$ Miara Diraca $\delta _{x}$ przyjmuje wartość 1 dla podzbiorów zawierających element $x,$ zaś wartość 0 dla pozostałych podzbiorów

Jeżeli $(X,{\mathfrak {M}})$ jest przestrzenią mierzalną oraz $x$ jest elementem przestrzeni $X,$ to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie $x$ nazywa się miarę $\delta _{x}$ taką, że dla dowolnego zbioru mierzalnego $A\in {\mathfrak {M}}{:}$

$\delta _{x}(A)={\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&x\notin A.\end{cases}}$

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną.

Nazwa miary pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej (miary można uważać za specjalny rodzaj dystrybucji). Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej $f$ na $X$ zachodzi tożsamość:

$\int \limits _{X}~f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x)$

lub w równoważnej formie

$\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x).$

Powyższa tożsamość jest często używana w definicji delty Diraca; używa się jej także w całce Lebesque’a.

Własności

Niech $\delta _{x}$ oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathfrak {M}}).$

• $\delta _{x}$ jest miarą probabilistyczną (w szczególności jest miarą skończoną).

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, a ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów $X$ zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory $X$ oraz niech $\delta _{x}$ jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni $X.$

• Miara Diraca jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią typu T₀.
• Miara Diraca, jako miara skończona, jest w szczególności lokalnie skończona.
• Miara Diraca jest wewnętrzną regularna: wszystkie zbiory jednoelementowe są zwarte. W szczególności miary Diraca są miarami Radona.
• Jeśli zbiór $\{x\}$ jest domknięty w topologii $\tau ,$ to jest on nośnikiem miary $\delta _{x}$ (w przeciwnym przypadku nośnikiem $\delta _{x}$ jest domknięcie zbioru $\{x\}$ w rozważanej topologii). Miary Diraca (na przestrzeniach typu T₁) są jedynymi miarami probabilistycznymi o jednopunktowym nośniku.
• Jeżeli $X$ jest $n$-wymiarową przestrzenią euklidesową $\mathbb {R} ^{n}$ z $\sigma$-algebrą zbiorów borelowskich oraz $n$-wymiarową miarą Lebesgue’a $\lambda ^{n},$ to $\delta _{x}$ jest miarą osobliwą względem $\lambda ^{n}{:}$ $\mathbb {R} ^{n}=A\cup B,$ gdzie

$A=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{x\},$ $B=\{x\}$ oraz

$\delta _{x}(A)=\lambda ^{n}(B)=0.$