Grupa SU(2)

Grupa SU(2), czyli specjalna grupa unitarna rzędu 2 – grupa macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1.

Reprezentacja fundamentalna tej grupy składa się z macierzy wymiaru $2\times 2,$ o wyrazach ze zbioru liczb zespolonych, tj.

$\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}x&-{\overline {y}}\\y&{\overline {x}}\end{pmatrix}}:\ \ x,y\in \mathbf {C} ,|x|^{2}+|y|^{2}=1\right\},$

gdzie np. ${\overline {x}}$ to liczba sprzężona do $x.$

Inne reprezentacje grupy tworzą macierze wyższego wymiaru, przy tym ich generatory spełniają identyczne warunki komutacyjne jak generatory reprezentacji fundamentalnej (omówiono to w artykule).

Działaniem grupowym w każdej reprezentacji jest operacja mnożenia macierzy. Elementem neutralnym grupy w danej reprezentacji jest macierz jednostkowa (o wymiarze równym wymiarowi macierzy tej reprezentacji). Elementem odwrotnym jest macierz odwrotna dodanej macierzy.

Grupa $SU(2)$ jest podgrupą w grupie macierzy unitarnych $U(2),$ która z kolei jest podgrupą pełnej grupy liniowej $GL(2,\mathbb {C} ).$ Centrum grupy $SU(2)$ jest izomorficzne z grupą cykliczną $\mathbb {Z} _{2}.$

Topologia

Grupa $SU(2)$ jest rozmaitość różniczkową wymiaru 3, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego: grupa macierzy $SU(2)$ jest grupą ciągłą, tzn. elementy macierzy należących do grupy są wyrażone za pomocą funkcji różniczkowalnych i ciągłych, należnych od 3 parametrów liniowo niezależnych. Algebra Liego su(2) związana z grupą Liego $SU(2)$ posiada $2^{2}-1=3$ generatory $T^{a},a=1,2,3.$

Reprezentacja fundamentalna grupy SU(2)

Generatory

Generatory algebry Liego $su(2)$ dla reprezentacji fundamentalnej grupy $SU(2)$ wyrażają się poprzez macierze wymiaru 2 × 2; najczęściej wybiera się jako generatory macierze Pauliego mnożone przez 1/2, tj.

$T^{a}={\frac {1}{2}}\sigma ^{a},$

czyli

$T^{1}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}}\right],$ $T^{2}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}0&&\!\!\!-i\\i&&0\end{matrix}}\right],$ $T^{3}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&\!\!\!-1\end{matrix}}\right].$

Reguły komutacji generatorów

Generatory te spełniają reguły komutacji:

$[T^{1},T^{2}]=i\,T^{3},$

$[T^{2},T^{3}]=i\,T^{1},$

$[T^{3},T^{1}]=i\,T^{2},$

gdzie $[T^{a},T^{b}]=T^{a}T^{b}-T^{b}T^{a}$ – komutator.

Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru

$[T^{a},T^{b}]=i\sum _{c}\,\epsilon _{abc}T^{c},$

gdzie: $\epsilon _{abc}$ oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

• $\epsilon _{abc}=+1,$ gdy liczby $abc$ są parzystą permutacją liczb 123,
• $\epsilon _{abc}=-1,$ gdy liczby $abc$ są nieparzystą permutacją liczb 123,
• $\epsilon _{abc}=\quad 0,$ gdy dwie lub trzy liczby $a,b,c$ są takie same.

Reguły antykomutacji:

$\{T_{a},T_{b}\}=\delta _{ab}I,$

gdzie $\delta _{ab}$ – delta Kroneckera.

Stałe struktury

Z postaci komutatora widać, że tensor antysymetryczny wyznacza stałe struktury grupy, tzn.

$f_{abc}=\epsilon _{abc},\quad a,b,c=1,2,3$

– stałe te (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory $T^{1},T^{2},T^{3}$ definiują algebrę Liego $su(2),$ tworząc jej bazę. Macierze te nie są jedynymi macierzami $2\times 2,$ które spełniają te same warunki komutacji.

Inne reprezentacji grupy $SU(2)$

Możliwe są więc także różne reprezentacje macierzowe tej samej grupy: generatorami tych reprezentacji są macierze wymiaru większego niż 2, które spełniają te same reguły komutacyjne co generatory wymiaru $2\times 2$ – te ostatnie nazywa się generatorami reprezentacji fundamentalnej (definiującej) grupy $SU(2).$

Macierz SU(2) wyrażona za pomocą generatorów

Dowolną macierz grupy $SU(2)$ w jej reprezentacji wymiaru $r$ można wyrazić za pomocą eksponenty

$R_{r}(\psi ,n_{1},n_{2},n_{3})=\exp \left[{i\,\psi \sum _{a=1}^{3}T_{r}^{a}\,n_{a}}\right],$

gdzie:

• $n_{1},n_{2},n_{3}$ takie, że $(n_{1})^{2}+(n_{2})^{2}+(n_{3})^{2}=1,$ ${\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})$ – wektor jednostkowy, skierowany wzdłuż osi obrotu,
• $\psi$ – kąt obrotu (określony zgodnie z regułą prawej dłoni) wokół danej osi zadanej wektorem ${\vec {n}}.$
• $T_{r}^{1},T_{r}^{2},T_{r}^{3}$ – generatory danej reprezentacji o wymiarze $r=2,3,4,\dots$

Uwaga 1: Wykładnik w eksponencie powyższego wzoru przedstawia sumę macierzy antyhermitowskich bezśladowych (np. dla reprezentacji fundamentalnej $2\times 2$ generatorami są macierze Pauliego, mnożone przez odpowiednie współczynniki – w efekcie w eksponencie mamy macierz antyhermitowską bezśladową) – jest to warunek konieczny, by generowana macierz była unitarna; bezśladowość zapewnia, że wyznacznik generowanej macierzy jest równy 1 – dlatego generowania jest specjalna macierz unitarna.

Uwaga 2: Grupa $SU(2)$ jest grupą zwartą, zależną od 3 liniowo niezależnych parametrów $\theta ,\phi ,\psi ,$ które należą do zbioru zwartego $\Omega \subset R^{3},$ przy czym:

$n^{1}=\sin \theta \sin \phi ,$ $n^{2}=\sin \theta \cos \phi ,$ $n^{3}=\cos \theta$

– współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu,

$\psi$ – kąt obrotu wokół tej osi

oraz

$\theta \,\in \langle 0,\pi \rangle ,\phi \in \langle 0,2\pi \rangle ,$ $\psi \,\in \langle 0,2\pi \rangle .$

Zobacz też

Grupy

• grupa obrotów SO(2)
• grupa obrotów SO(n)
• grupa unitarna SU(n)

Inne

• algebra Liego
• bozony cechowania
• macierze Pauliego
• symetria unitarna
• symetria złamana

Bibliografia

• F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, PWN, Warszawa 1975, Tom 2.
• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

Linki zewnętrzne

• S. Mrówczyński, Grupa SU(N) i jej reprezentacje
• Andrzej Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje oraz ich zastosowania w fizyce, 2011 [dostęp 2021-08-17].