Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych
z
=
f
(
x
,
y
)
:
{\displaystyle z=f(x,y){:}}
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy.}
Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
f
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle z=f(x,y).}
Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej .
Jeżeli
D
{\displaystyle D}
obszarem normalnym względem osi OX , tzn.
D
=
{
a
⩽
x
⩽
b
;
g
(
x
)
⩽
y
⩽
h
(
x
)
}
,
{\displaystyle D=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x)\},}
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
(
∫
g
(
x
)
h
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
.
{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy{\bigg )}\;dx.}
Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY . (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX , jak i OY ). Jeżeli obszar
D
{\displaystyle D}
Załóżmy, że obszar regularny domknięty
D
{\displaystyle D}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Φ
=
{
x
=
x
(
u
,
v
)
,
y
=
y
(
u
,
v
)
}
,
{\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v),\ y=y(u,v)\},}
które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
którego jakobian
J
=
D
(
x
,
y
)
D
(
u
,
v
)
=
|
x
u
′
x
v
′
y
u
′
y
v
′
|
{\displaystyle J={\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}}
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
zaś
f
{\displaystyle f}
D
.
{\displaystyle D.}
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
Ω
f
(
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
)
|
J
|
d
u
d
v
.
{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy=\iint \limits _{\Omega }f(x(u,v),\ y(u,v))|J|\;du\;dv.}
Uwaga.
|
J
|
{\displaystyle |J|}
jakobianu , zaś
x
u
′
=
∂
x
∂
u
,
x
v
′
=
∂
x
∂
v
,
y
u
′
=
∂
y
∂
u
,
y
v
′
=
∂
y
∂
v
{\displaystyle x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}},\ x'_{v}={\frac {\partial x}{\partial v}},\ y'_{u}={\frac {\partial y}{\partial u}},\ y'_{v}={\frac {\partial y}{\partial v}}}
pochodne cząstkowe .
typy całek
metody całkowania
metody całkowania
twierdzenia
