Łuk regularny

Łuk regularny – rodzaj krzywej opisanej parametrycznie:

${\big (}x(t),y(t){\big )},$ gdzie $t\in [\alpha ,\beta ]$

lub ogólniej, w przestrzeni n-wymiarowej:

${\big (}z_{1}(t),\dots ,z_{n}(t){\big )},$ gdzie $t\in [\alpha ,\beta ].$

Łuk regularny jest zdefiniowany przez spełnianie zestawu warunków:

• nie ma punktów wielokrotnych, tzn. różnym wartościom $t$ odpowiadają różne punkty krzywej (różnowartościowość, in. iniekcyjność);
• funkcje te mają w przedziale $[\alpha ,\beta ]$ pochodne o pewnych własnościach:

• pochodne te są ciągłe;
• te pochodne nie zerują się jednocześnie, tzn.

${\big (}x'(t){\big )}^{2}+{\big (}y'(t){\big )}^{2}>0$

lub odpowiednio, w przestrzeni n-wymiarowej:

${\big (}z_{1}'(t){\big )}^{2}+\ldots +{\big (}z_{n}'(t){\big )}^{2}>0$

dla każdego $t\in [\alpha ,\beta ]$.

Własności

Łuk regularny ma w każdym swoim punkcie styczną. Każdy łuk regularny jest łukiem zwykłym oraz krzywą prostowalną, której długość wyraża się wzorem:

$|L|=\int \limits _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt[{}]{{\big (}x'(t){\big )}^{2}+{\big (}y'(t){\big )}^{2}}}\;dt}.$

Każdy punkt leżący na tej krzywej nazywany jest punktem regularnym.

Zobacz też

• lista krzywych
• łuk krzywej
• łuk zwykły