Cosinussetningen

Figur 1 – En trekant

Trigonometri

Historie Anvendelser Hypotenus Funksjoner Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter Eksakte konstanter Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen Cosinussetningen Tangenssetningen Pytagoras’ læresetning

Matematisk analyse

Integraler av funksjoner Deriverte av funksjoner Integraler av inverse funksjoner

I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

I sfærisk geometri på en kuleflate finnes det også en cosinussetning som det også gjør i hyperbolsk geometri.

Anvendelser

Figur 2 – Anvendelser av cosinussetningen: ukjent side og ukjent vinkel

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)

• den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:

• vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:

$\,\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,;$

• den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):

$\,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.$

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a² − 2ab cosγ + b² − c² = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.

Bevis

Med vektorer

La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. Da har vi at

${\begin{aligned}|{\vec {c}}|^{2}&{}={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\\&{}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\&{}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\\&{}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \end{aligned}}$

Med avstandsformelen

Betrakt en trekant med sider a, b, c, der $\theta$ er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte $A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{and}}\ C(0,0).$ Ved å bruke avstandsformelen har vi $c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}$. Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

${\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}$

En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

Med trigonometri

Figur 3 – En spiss trekant med inntegnet høyde

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

$c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.$

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med c:

$c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.$

Ved å betrakte de andre høydene får vi

$a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,$

$b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.$

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

$a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,$.

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos(\beta )-bc\cos(\alpha )+ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,$

som kan forenkles til

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,$

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.

Den utvidede cosinussetningen

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

${\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}^{2}-2\cdot AD\cdot {\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}})}}\\\end{aligned}}$

Som kan forkortes til:

${\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+AC^{2}-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{AC}})}}\\\end{aligned}}$

Se også

• Triangulering
• Sinussetningen
• Tangenssetningen

Eksterne lenker

• Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot