Plancklova

Plancklova eller Planck si strålingslov vart oppdaga av Max Planck i 1900 og seier at lekamar sender ut elektromagnetisk stråling og at energispekteret til strålinga er avhengig av temperaturen til lekamen.

Den fysiske mekanismen bak er at materie sender ut og absorberer stråling og ein kan sjå på denne strålinga som ein ideell gass av foton. Gassen skil seg frå ein gass av massive partiklar ved at talet på foton ikkje er konstant, men varier med temperatur. Talet på foton i eit visst frekvensintervall vert bestemt ved at absorpsjon og transmisjon er i likevekt. Ein lekam som følgjer Plancklova vert kalla ein svartlekam (eit omgrep som kan verke forvirrande sidan lekamen faktisk sender ut lys. Sola er såleis tilnærma ein svart lekam). Strålinga frå ein svartlekam vert òg kalla «holromsstråling» eller «termisk stråling».

Plancklova er ei historisk særs viktig lov sidan ho er byrjinga og grunnlaget for kvantemekanikken. Resultatet kan såleis ikkje utleiast frå klassisk mekanikk.

Krav

Følgjande krav må vere oppfylt

Fotongassen er i termisk likevekt.
Volumet er tilstrekkeleg stort.
Fotongassen er ideell, dvs. ingen vekselverknad mellom fotona. Slik vekselverknad skjer berre ved ekstremt høg temperatur gjennom virtuelle elektron/anti-elektron-par.
Fotongassen vekselverker svakt med omgjevnadane. Dette gjeld som regel med unntak av spektrallinjer i atoma, som ein kan sjå som svarte linjer i spekteret.

Lyset frå sola følgjer Plancklova, med unntak av spektrallinjene for kvantesprang i hydrogen og helium (Helium vart først oppdaga i ei slik linje i sollys) og spreiing i sola sin atmosfære.

Jorda (samt menneske, dyr, kaker, kokeplater og lyspærer for den saks skuld) sender òg ut termisk stråling, men her kjem i tillegg alt reflektert lys, i hovudsak få sola, som ikkje følgjer Plancklova.

Matematisk formulering

Energien til eit foton er gjeven ved $\epsilon =\hslash \omega$ ) der $\hslash$ er Planckkonstanten og $\omega$ er frekvens.

Energispekteret er gjeve ved

{\frac {dE_{\omega }}{d\omega }}={\frac {\hslash V}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {\omega ^{3}}{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}}

der $V$ er volum, $k_{B}$ er Boltzmannkonstanten, og $T$ er temperatur målt i kelvin.

Ekvivalent kan lova formulerast ved hjelp av bølgjelengd, $\lambda =2\pi c/\omega$ , i staden for frekvens

{\frac {dE_{\lambda }}{d\lambda }}={\frac {16\pi ^{2}\hslash cV}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{2\pi \hslash c/k_{B}T\lambda }-1}}

Wien si forskyvingslov

Maksimum i planckspekteret gjev Wien si forskyvningslov

\lambda _{maks}={\frac {2\pi \hslash c}{4,965k_{B}T}}={\frac {2,897~10^{-3}K\cdot m}{T}}

som seier at den vanlegaste bølgjelengda i frekvensspekteret er omvendt proporsjonal med temperatur. Konstanten har dimensjon kelvin * meter.

Sola har ein overflatetemperatur på ca. 5780K som gjev $\lambda _{maks}\approx 500nm$ , dvs. synleg lys (noko som ikkje burde vere overraskande).

Jorda har ein overflatetemperatur på ca. 290K som gjev $\lambda _{maks}\approx 10\mu m$ , dvs. infraraudt lys.

Ut i frå dette kan ein òg trekke konklusjonen andre vegen: ei lyspære som skal sende ut synleg lys basert på termisk stråling må ha en temperatur nær temperaturen på soloverflata.

Utleiing av Plancklova

Planck si strålingslov kan leiast ut ved hjelp av standard metode i statistisk fysikk. Energien til gassen er gjeven ved

E=\sum _{k}~\epsilon _{k}\langle n_{k}\rangle

der summen er ein abstrakt sum over alle tilstandar. Fotonenergien er gjeven ved $\epsilon _{k}=\hslash \omega$ . Midlare tal på foton i ein tilstand ved likevekt er gjeve ved bosedistribusjonen

\langle n_{k}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{k}-\mu )/k_{B}T}-1}}

der T er temperatur og det kjemiske potensialet for ein fotongass er $\mu =0$ . Med innsett fotonenergi vert dette òg kalla planckdistribusjonen.

Tilstandssummen går over alle polarisasjonsretningar, koordinatar og bølgjetal. Summen over koordinatane gjev volumet, V, og summen over polarisasjonsretningane gjev ein faktor 2. For stort volum kan summen over bølgjetal gå over til integral (termodynamisk grense)

E=2V~\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}~{\frac {1}{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}}

Går vi over til sfæriske koordinatar og nyttar at $\omega =ck=c|\mathbf {k} |$ gjev integrasjon over vinklane berre ein faktor $4\pi$ , dvs.

E={\frac {\hslash V}{\pi ^{2}c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{3}}{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}}d\omega

sidan vi har

E=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial E_{\omega }}{\partial \omega }}d\omega

gjev dette Planck si strålingslov.

Bøker

Landau og Lifshitz: Statistical Physics, part I.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Plancklova» frå Wikipedia på bokmål, den 19. september 2008.