Quaternionengroep

In de groepentheorie is de quaternionengroep een eindige groep, die niet commutatief is en waarvan de orde 8 is. De quaternionengroep wordt vaak met $Q$ aangeduid en heeft de volgende acht elementen:

$Q=\{1,-1,\ i,-i,\ j,-j,\ k,-k\ \}$

De quaternionengroep wordt met deze acht elementen als multiplicatieve groep geschreven, waarin 1 het neutrale element is, $(-1)^{2}=1$ en $(-1)a=a(-1)=-a$ voor alle $a$ in $Q$. De andere vermenigvuldigingsregels zijn uit de volgende relaties af te leiden:

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

De cayley-tabel of groepentabel voor $Q$ is de volgende:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Merk op dat de quaternionengroep niet commutatief is. Bijvoorbeeld $ij=-ji$. $Q$ is een Hamiltoniaanse groep is: iedere ondergroep van $Q$ is er een normaaldeler van, maar de groep is niet commutatief. Iedere Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van $Q$.

Cyclegraaf van $Q$

 i ² = −1, i ³ = −i en i ⁴ = 1, maar ook
−i ² = −1, −i ³ = i en −i ⁴ = 1

Quaternionen

• De quaternionengroep wordt hier dus als een multiplicatieve groep beschreven. Het is net zoals het mogelijk is de complexe getallen $\mathbb {C}$ te definiëren door aan het lichaam van de reële getallen $\mathbb {R}$ de imaginaire eenheid $i$ toe te voegen, mogelijk een nieuw lichaam te definiëren door aan $\mathbb {R}$ de drie elementen $i,j$ en $k$ van de quaternionenengroep toe te voegen. Dit lichaam wordt met $\mathbb {H}$ aangegeven. De dimensie van $\mathbb {H}$ over $\mathbb {R}$ is vier en de getallen in $\mathbb {H}$ worden quaternionen genoemd.