In de lineaire algebra is een lineaire combinatie
van eindig veel elementen
uit een vectorruimte
over een Lichaam (Ned) / veld (Be)
, een som van veelvouden van deze elementen. Meer precies heet
een lineaire combinatie van
als:
![{\displaystyle w=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\dots +a_{n}u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\qquad \quad \mathrm {met} \quad a_{i}\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcd355a23daf1f6f1f6799d6916f0db35ae90ed)
De lineaire combinaties van de vectoren
vormen juist de lineaire deelruimte die door die vectoren wordt voortgebracht.
Ook voor een willekeurige deelverzameling
heet
een lineaire combinatie van
als
een lineaire combinatie is van eindig veel elementen uit
. De lineaire combinaties van de vectoren uit
vormen in dit geval de lineaire deelruimte die door
wordt voortgebracht.
Laat het lichaam
de verzameling
van de reële getallen zijn en laat de vectorruimte
de euclidische ruimte
zijn. Beschouw de vectoren
en
.
Dan is iedere vector in
een lineaire combinatie van
en
. Neem om dit in te zien een willekeurige vector
en schrijf:
![{\displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bfffac8914ba88ffa8cdaafba745d2a69bf79d)
De vector
is echter geen lineaire combinatie van
en
. Er zijn namelijk geen getallen
en
waarvoor
![{\displaystyle e_{3}=(0,0,1)=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)=(a_{1},a_{2},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64f0bb44e39393cbdf244b5a2462c07878fbe68)