Functieruimte

In de wiskunde is een functieruimte een verzameling van een bepaalde soort functies van een verzameling $X$ naar een verzameling $Y$. Het wordt een ruimte genoemd, omdat het in vele toepassingen, een topologische ruimte, een vectorruimte of beide is.

Voorbeelden

Functieruimten komen in verschillende deelgebieden van de wiskunde voor:

• In de verzamelingenleer kan de machtsverzameling van een verzameling $X$ worden geïdentificeerd met de verzameling van alle functies van $X$ naar het interval $(0,1)$, weergegeven door $2^{X}$. Meer in het algemeen wordt de verzameling van functies $X\to Y$ aangeduid door $Y^{X}$.

• In de lineaire algebra is de verzameling van alle lineaire transformaties van een vectorruimte $V$ naar een andere vectorruimte $W$, over hetzelfde lichaam/veld, zelf eveneens een vectorruimte. Dit geldt ook voor verzamelingen van functies van een verzameling $V$ naar een vectorruimte $W$, mits de verzameling functies gesloten is ten aanzien van optelling en scalaire vermenigvuldiging. Het kan bijvoorbeeld gaan om de $n$-dimensionale ruimte van polynomen tot en met graad $n-1$, of de aftelbaar-oneindigdimensionale ruimte van alle polynomen, of de overaftelbaardimensionale ruimte van alle reële functies, steeds op een vast reëel interval of de hele reële ruimte.

• In de functionaalanalyse geldt hetzelfde voor continue lineaire transformaties, waaronder topologieën op vectorruimten in het bovenstaande, en veel van de belangrijkste voorbeelden zijn functieruimten die een topologie met zich mee dragen; onder de meest bekende voorbeelden zijn onder meer de hilbertruimten en de banachruimten.

• In de functionaalanalyse wordt de verzameling van alle functies van de natuurlijke getallen naar een verzameling $X$ een rijruimte genoemd. De rijruimte bestaat uit de verzameling van alle mogelijke rijen van elementen van $X$.