ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်

ကိန်းသီအိုရီတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of arithmetic) ဆိုသည့် ဂဏန်းသင်္ချာတွင် အခြေခံအုတ်မြစ်ဟု ဆိုနိုင်သော ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (factorization) နှင့် သက်ဆိုင်သည့် နိယာမတစ်ခုရှိသည်။ ဤသီအိုရမ်၏ မူရင်းမှာ နေ့စဉ်သုံး ကိန်းဂဏန်းများ၊ (ပို၍ တိတိကျကျဆိုရလျှင် ကိန်းပြည့်များအစု $\mathbb {Z}$ ၊) နှင့်သာ ပတ်သက်၏။ သို့သော် သင်္ချာပညာ ထွန်းကားကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုထားသည့် သင်္ချာသဘောတရားများလည်း ထွန်းကားလာရာ၊ နေ့စဉ်သုံး ကိန်းပြည့်များအပြင် အခြားအက္ခရာသင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အမြောက်အမြား^{[မှတ်စု ၁]} တွင်လည်း ဤသီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်း ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ၏ ကျေးဇူးကြောင့် ယခုအခါ သိလာရသည်။

ဤနိယာမ၏ မူရင်းအဆိုကို အကြမ်းရေးရလျှင် ဤသို့ဖြစ်သည်။

တစ်ထက်ကြီးသည့် မည်သည့် ကိန်းပြည့် (integer) ကိုမဆို

သုဒ္ဓကိန်းအချို့၏ မြောက်လဒ်အဖြစ် ဆခွဲကိန်း ခွဲနိုင်သည်၊
ဆခွဲကိန်းခွဲရာတွင် မည်သို့ပင်ခွဲစေကာမူ၊ အခါခါခွဲစေကာမူ ရရှိသည့် ဆခွဲကိန်းများမှာ (ရှေ့နောက်အစီအစဉ်ကို မကြည့်လျှင်) အတူတူပင်ဖြစ်သည်။

သာဓကအားဖြင့် ၁၉၆၀ ကိုကြည့်ပါ။ ဤကိန်း ၁၉၆၀ မှာ တစ်ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်ဖြစ်သောကြောင့် နိယာမ၏ ပထမအဆိုအရ ၁၉၆၀ ကို သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း ခွဲ၍ ရကို ရရမည်ဖြစ်သည်။ အောက်ပါအတိုင်း ဆခွဲကိန်း ခွဲသည် ဆိုပါစို့။

၁၉၆၀ = ၂ x ၂ x ၂ x ၅ x ၇ x ၇

ဆခွဲကိန်းများအားလုံးမှာ သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်ပြီး၊ ၂ သုံးခါ၊ ၅ တစ်ခါ၊ ၇ နှစ်ခါ ပါကြောင်း သတိပြုပါ။ ၎င်း ကိန်း ၁၉၆၀ ကိုပင် အောက်ပါအတိုင်း ရေးနိုင်သည်။

၁၉၆၀ = ၅ x ၂ x ၂ x ၇ x ၂ x ၇

ဆခွဲကိန်းများအားလုံးမှာ သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကိန်းများကို ပထမအကြိမ် ဆခွဲကိန်းခွဲစဉ်အခါကဲ့သို့ ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီမထားသော်လည်း ပါဝင်သည့် သုဒ္ဓကိန်းများကို ရေတွက်ပါက၊ ပထမအကြိမ်မှာကဲ့သို့ပင် ၂ သုံးခါ၊ ၅ တစ်ခါ နှင့် ၇ နှစ်ခါပင် ဖြစ်သည်။ (ယခုဖော်ပြထားသော ဆခွဲကိန်း စီစဉ်ပုံနှစ်မျိုးမှာ ဖြစ်နိုင်သမျှ အစီအစဉ် အမျိုး ၆၀^{[မှတ်စု ၂]} ထဲမှ နှစ်ခုသာသည်ဖြစ်သည်။ ၎င်း အစီအစဉ် အမျိုး ၆၀ ထဲမှ မည်သည့် အစီအစဉ်တွင်မဆို ၂ သုံးခါ၊ ၅ တစ်ခါ၊ ၇ နှစ်ခါ ပါကို ပါရမည်ပင်။) ဤသို့ ဆခွဲကိန်းများ အစီအစဉ် မတူညီစေကာမူ ပါဝင်သည့် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများ (၂၊ ၅ နှင့် ၇) တူညီခြင်းနှင့် ၎င်းသုဒ္ဓဆခွဲကိန်း တစ်ခုချင်းစီ၏ မြောက်လဒ်တွင် ပါဝင်မှု အကြိမ်အရေအတွက် (၂ သုံးခါ၊ ၅ တစ်ခါ၊ ၇ နှစ်ခါ) တူညီခြင်းကို ဆခွဲကိန်းများမှာ (ရှေ့နောက်အစီအစဉ်ကို မကြည့်လျှင်) အတူတူပင်ဖြစ်သည်၊ အင်္ဂလိပ်ဖြင့် "prime factors are unique up to the order" ဟု ခေါ်သည်။

သမိုင်းကြောင်း

သက်သေပြချက်

ယေဘုယျပြုခြင်း

မှတ်စု

↑ သာဓကအားဖြင့် ကိန်းပြည့်မြောက်ကိန်းများ (integer coefficients) သာ သုံးသည့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) အစု၊ သင်္ကေတအားဖြင့် $\mathbb {Z} [x]$ ၊ တွင်လည်း ဤနိယာမ မှန်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\mathbb {Z} [x]$ မှ သုညမဟုတ်သည့်၊ ယူနစ်မဟုတ်သည့် (non unit) ပိုလီနိုမီရယ်တိုင်းကို ထပ်မံဆခွဲ မခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ (irreducible polynomials) သုံး၍ ဆခွဲ ခွဲနိုင်သည်။ ထိုဆခွဲပုံများမှာလည်း (ရှေ့နောက်အစီအစဉ်ကို မကြည့်လျှင်) တူညီသည်။ (ဤတွင် တစ်ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်အစား သုညမဟုတ်သည့်၊ ယူနစ်မဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်၊ သုဒ္ဓကိန်းအစား ထပ်မံဆခွဲ မခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် စသည်ဖြင့် အစားထိုးအသုံးပြုခြင်းမှအပ၊ နိယာမ၏ အမြုတေသဘောမှာ အတူတူပင်။)
↑ စနစ်တကျ ရေတွက်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုနိုင်မည့် ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် (combinatorics) ဘာသာရပ်သုံး၍ ${\dfrac {6!}{3!1!2!}}=60$ ဟုတွက်ခြင်းဖြစ်သည်။

[1] သာဓကအားဖြင့် ကိန်းပြည့်မြောက်ကိန်းများ (integer coefficients) သာ သုံးသည့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) အစု၊ သင်္ကေတအားဖြင့် $\mathbb {Z} [x]$ ၊ တွင်လည်း ဤနိယာမ မှန်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\mathbb {Z} [x]$ မှ သုညမဟုတ်သည့်၊ ယူနစ်မဟုတ်သည့် (non unit) ပိုလီနိုမီရယ်တိုင်းကို ထပ်မံဆခွဲ မခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ (irreducible polynomials) သုံး၍ ဆခွဲ ခွဲနိုင်သည်။ ထိုဆခွဲပုံများမှာလည်း (ရှေ့နောက်အစီအစဉ်ကို မကြည့်လျှင်) တူညီသည်။ (ဤတွင် တစ်ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်အစား သုညမဟုတ်သည့်၊ ယူနစ်မဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်၊ သုဒ္ဓကိန်းအစား ထပ်မံဆခွဲ မခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် စသည်ဖြင့် အစားထိုးအသုံးပြုခြင်းမှအပ၊ နိယာမ၏ အမြုတေသဘောမှာ အတူတူပင်။)

[2] စနစ်တကျ ရေတွက်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုနိုင်မည့် ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် (combinatorics) ဘာသာရပ်သုံး၍ ${\dfrac {6!}{3!1!2!}}=60$ ဟုတွက်ခြင်းဖြစ်သည်။

[မှတ်စု ၁]

[မှတ်စု ၂]