차원 조절

양자장론에서 차원 조절(次元調節, dimensional regularization)이란 발산하는 적분을 임의의 복소 차원으로 해석적 연속하는, 조절의 한 방법이다. 게이지 대칭을 보존하므로, 게이지 이론에서 유용하다. 독특하게도, 로그적 발산보다 더 큰 발산을 숨긴다. 해석적으로 연속할 수 없는, 레비치비타 기호를 포함한 항(강력의 CP 위반 항 등)에는 적용할 수 없다.

정의

대부분의 상대론적 라그랑지언은 임의의 양의 정수 차원에서 쓸 수 있다. (단, 레비치비타 기호 기호 따위는 특정한 차원에서만 쓸 수 있기 때문에 예외다.) 따라서 파인먼 도표를 차원에 대한 함수로 계산할 수 있다. 이렇게 얻어진 함수는 정칙함수이다. 따라서, 임의의 복소 차원 $d$ 로 해석적 연속할 수 있다. 따라서, 파인먼 도표를 $d=4$ 근처에서 테일러 급수로 쓸 수 있다. 이렇게 하면 $1/\epsilon =1/(4-d)$ 의 급수로 도표가 발산하는 정도를 나타낼 수 있다. 이를 차원 조절이라고 부른다.

차원 조절로 얻는 식은 모두 로그로 발산한다 (즉, 재규격화 에너지 $\Lambda$ 를 포함하여 쓰면, $1/\epsilon$ 으로 나타내어지는 발산은 재규격화 에너지의 로그에 비례한다). 이는 차원 조절이 선형, 이차, 삼차 등의 발산을 숨기기 때문이다. 차원 조절 뒤엔 일반적으로 최소뺄셈방식 또는 수정 최소뺄셈방식으로 재규격화한다.

예제

예를 들어, 다음과 같이 4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 생각해 보자.

\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}

일단, 차원을 4-ε으로 적고, ε을 0으로 보내자. 이렇게 하면 다음을 얻는다.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int {\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.

이렇게 하면 적분이 수렴하고, 모든 값이 유한하다.

역사

1972년 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만^[1]^[2]과 카를로스 볼리니(Carlos Bollini), 후안 호세 잠비아기(Juan Jose Giambiagi)^[3], 애시모어(J. F. Ashmore)^[4] 가 도입하였다. 가 도입하였다. 엇호프트와 펠트만은 양-밀스 이론을 재규격화하기 위해 차원 조절을 도입하였다.

같이 보기

규칙화에는 여러 방법이 있는데, 차원 조절은 그 중 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다. 다른 방법으로는 파울리-비야르 조절이나 격자조절 따위가 있다.

각주

↑ ’t Hooft, G.; M. Veltman (1972), “Regularization and renormalization of gauge fields” (PDF), 《Nuclear Physics B》 (영어) 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, ISSN 0550-3213
↑ ’t Hooft, G. (1984년 4월 16일). “This week’s citation classic” (PDF). 《ISI Current Contents》 (영어) 16: 16–16.
↑ Bollini, Carlos; Juan Jose Giambiagi (1972년 11월 11일). “Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter”. 《Il Nuovo Cimento B》 (영어) 12: 20–26. doi:10.1007/BF02895558.
↑ Ashmore, J. F. (1972년 6월 24일). “A method of gauge-invariant regularization”. 《Lettere al Nuovo Cimento》 (영어) 4 (8): 289–90. doi:10.1007/BF02824407. ISSN 0375-930X.

Olness, Fredrick; Randall Scalise (2011년 3월). “Regularization, renormalization, and dimensional analysis: Dimensional regularization meets freshman E&M”. 《American Journal of Physics》 79 (3): 306. arXiv:0812.3578. doi:10.1119/1.3535586.
Leibbrandt, George (1975년 10월). “Introduction to the technique of dimensional regularization”. 《Reviews of Modern Physics》 47 (4): 849–876. doi:10.1103/RevModPhys.47.849.
Breitenlohner, P.; D. Maison (1977년 2월). “Dimensional regularization and the action principle”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 52 (1): 11-38. doi:10.1007/BF01609069.

[1] ’t Hooft, G.; M. Veltman (1972), “Regularization and renormalization of gauge fields” (PDF), 《Nuclear Physics B》 (영어) 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, ISSN 0550-3213

[2] ’t Hooft, G. (1984년 4월 16일). “This week’s citation classic” (PDF). 《ISI Current Contents》 (영어) 16: 16–16.

[3] Bollini, Carlos; Juan Jose Giambiagi (1972년 11월 11일). “Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter”. 《Il Nuovo Cimento B》 (영어) 12: 20–26. doi:10.1007/BF02895558.

[4] Ashmore, J. F. (1972년 6월 24일). “A method of gauge-invariant regularization”. 《Lettere al Nuovo Cimento》 (영어) 4 (8): 289–90. doi:10.1007/BF02824407. ISSN 0375-930X.

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