Funzione quadratica

In algebra, una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili x, y, z ha la seguente forma generale: $f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j$ con almeno uno tra $a,b,c,d,e,f$ diverso da 0.

Una funzione quadratica in una variabile ha forma: $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Il suo grafico è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse y. Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una equazione di secondo grado; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.

Grafico di una funzione quadratica definita da un polinomio di secondo grado con due radici reali e nessuna radice complessa

Una funzione quadratica in due variabili ha forma: $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$ con $a,b,c$ non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una ipersuperficie detta quadrica. Il sottoinsieme di $\mathbb {R} ^{2}$ descritto da $f(x,y)=0$ è una sezione conica (ellisse, circonferenza, parabola, iperbole).

I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere reali o complessi, perché un polinomio può essere definito su qualunque anello. Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.

I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli spazi vettoriali dal concetto di forma quadratica.

Etimologia

L'aggettivo quadratico deriva dal latino quadratum (quadrato). Un termine di secondo grado $x^{2}$ è detto quadrato perché rappresenta l'area di un quadrato di lato $x$.

Forme nel caso in una variabile

Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:

• $f(x)=ax^{2}+bx+c$, forma normale;
• $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$, forma fattorizzata, con $x_{1},x_{2}$ radici del polinomio associato;
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k$, forma del vertice, dove $(h,k)$ sono le coordinate cartesiane del vertice della parabola data dal grafico.

La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il completamento del quadrato; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le operazioni indicate.

Grafico della funzione in una variabile

$f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$

$f(x)=ax^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

$f(x)=ax^{2}-bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

A prescindere dalla forma dell'espressione, il grafico di una funzione quadratica in una variabile $f(x)=ax^{2}+bx+c$ è una parabola. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come ${(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=ax^{2}+bx+c}$.

Se $a>0$, la parabola volge la concavità verso l'alto; se $a<0$, la parabola volge la concavità verso il basso.

Il coefficiente $a$ controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti $a$ e $b$ concorrono a definire la posizione dell'asse di simmetria della parabola, quindi la coordinata $x_{0}$ del vertice, data da $x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$. Il coefficiente $c$ controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse y nel punto di coordinate $(0,c)$.

Vertice

Il vertice è il massimo o minimo assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono $(h,k)$.

Attraverso il completamento del quadrato, la forma normale

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

può essere trasformata in

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$;

ponendo $\Delta =b^{2}-4ac$ (discriminante)

allora il vertice ha coordinate $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.

Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come $\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\right)$.

Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'analisi matematica. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della derivata:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}$

in questo punto la funzione vale

$f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}}$

quindi le coordinate del vertice sono:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

in accordo con quanto trovato prima.

Radici della funzione in una variabile

Grafico di una funzione quadratica con discriminante positivo con: *Radici e intersezioni con l'asse y in rosso *Vertice e asse di simmetria in blu *Fuoco e direttrice in rosa

Visualizzazione delle radici complesse di una funzione quadratica: la parabola è ruotata di 180° intorno al suo vertice (arancione). Le sue intersezioni con l'asse x sono ruotati di 90° intorno al loro punto medio e il piano cartesiano è interpretato come il piano complesso

Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di $x$ per i quali $f(x)=0$. Per il teorema fondamentale dell'algebra per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il completamento del quadrato si trova che:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Quindi a seconda del segno del discriminante si possono avere tre casi:

• $\Delta >0$ due radici reali e distinte,
• $\Delta =0$ due radici reali e coincidenti, con $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$,
• $\Delta <0$ due radici complesse distinte.

Il modulo delle radici non può essere più grande di $\phi \left({\frac {max\{|a|,|b|,|c|\}}{|a|}}\right)$, dove $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$è la sezione aurea.

Radice quadrata della funzione in una variabile

La funzione data dalla radice quadrata di una funzione quadratica in una variabile ha forma $f(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ ed ha come grafico una ellisse o una iperbole.

Se $a>0$ il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.

Se $a<0$ il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).

Iterazione

Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione n-esima viene indicata con $f^{(n)}(x)$; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la funzione inversa (se esiste) di $f(x)$. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di $f^{(n)}(x)$. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.

Per la funzione $f(x)=a(x-c)^{2}+c$ (con $a,c$ parametri reali) la forma iterata è

$x_{n+1}=a(x_{n}-c)^{2}+c$

ponendo $g(x)=ax^{2}h(x)=x-c$

allora $f(x)=h^{-1}(g(h(x))$

quindi per induzione $f(x)=h^{-1}(g^{n}(h(x))$

sempre per induzione si ha che $g^{n}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}$

allora $f(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c$ è la soluzione esplicita.

La mappa logistica $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})0\leq x_{o}<1$ con parametro $r\in [2,4]$ può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è caotico e uno non lo è. Nel caso caotico $r=4$ la soluzione è

$x_{n}=sin^{2}(2^{n}\theta \pi )$ dove la condizione iniziale $\theta$ è data da $\theta ={\frac {1}{\pi }}sin^{-1}({\sqrt {x_{0}}})$. Per $\theta$ razionale, dopo un numero finito di iterazioni, $x_{n}$ entra in una sequenza periodica. Per $\theta$ irrazionale $x_{n}$ non si ripete mai con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali; siccome la maggior parte dei $\theta$ è irrazionale, il comportamento è caotico.

La soluzione della mappa logistica con $r=2$ è $x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$ per $x_{0}\in [0,1)$.

Se $(1-2x_{0})\in (-1,1)$, per ogni valore di $x_{0}$ diverso dal valore instabile $0$, il termine $(1-2x_{0})\rightarrow 0$ per $n\rightarrow +\infty$, quindi $x_{n}\rightarrow {\frac {1}{2}}$.

Funzione quadratica in due variabili

Una funzione quadratica in due variabili è una funzione definita da un polinomio di secondo grado della forma:

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$

dove $a,b,c,d,e,f$ sono costanti e $a,b$ non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una superficie(quadrica). L'insieme descritto da $f(x,y)=0$ è l'intersezione tra la superficie e il piano $z=0$ ovvero una sezione conica.

Massimi e minimi

Se $4ab-e^{2}<0$ la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un paraboloide iperbolico.

Se $4ab-e^{2}>0$ la funzione ha un punto di massimo ($a>0$) o di minimo ($a>0$); il suo grafico è un paraboloide ellittico. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono $\left({\frac {de-2bc}{4ab-e^{2}}},{\frac {ce-2ad}{4ab-e^{2}}}\right)$.

Se $4ab-e^{2}=0$ e $de-2cb=2ad-ce\neq 0$ la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un cilindro parabolico.

Se $4ab-e^{2}=0$ e $de-2cb=2ad-ce=0$ la funzione raggiunge un punto di massimo ($a<0$) o minimo ($a>0$); il suo grafico è un cilindro parabolico.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Equazione di secondo grado
• Forma quadratica
• Sezione conica
• Quadrica
• Rappresentazione matriciale delle coniche

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• funzione quadratica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione quadratica, su MathWorld, Wolfram Research.

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