Niz

Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa $\lbrace 1,2,3,...,20\rbrace$ pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Matematička definicija niza

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju $f:\mathbb {N} \rightarrow S$ zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije $f(n)=...$, označava sa $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ili samo $(a_{n})_{n}$ ili $(a_{n})$.

Primjeri

Članovi niza zadanog sa $f(n)={\frac {1}{n}}$ izgledaju ovako: $(a_{n})_{1}=1,\ (a_{n})_{2}={\frac {1}{2}},\ (a_{n})_{3}={\frac {1}{3}},\ (a_{n})_{4}={\frac {1}{4}},...$

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana s više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

$g(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} _{0}$

$g(n):={\begin{cases}n,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ neparan}}\\0,&{\mbox{ako je }}n{\mbox{ paran}}\end{cases}}$

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup $\mathbb {N}$ (kodomena je skup $S=\mathbb {N} _{0}$).

Članovi ovog niza izgledaju ovako: $1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...$

Posebni nizovi

Posebno se često proučavaju aritmetički niz i geometrijski niz.

Konvergentni nizovi realnih brojeva

Niz $a_{n}$ realnih brojeva konvergira realnom broju $a_{0}$, ako za svako $\epsilon >0$ postoji prirodni broj $n_{0}$ takav da

$(n>n_{0})\implies (|a_{n}-a_{0}|<\epsilon )$

Broj $a_{0}$ se naziva limes niza $a_{n}$. Kao primjer niz

$a_{n}={\frac {1}{n}}$

konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.