Serie (matemáticas)

Esta article é sobre sumas infinitas. Para sumas finitas, véxase Sumatorio.

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos $a_{n}$ como

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{n}$

A diferenza das sumas finitas, as series requiren ferramentas da análise matemática para ser entendidas e manipuladas correctamente. O estudo das series consiste en avaliar a suma dun número finito $N$ de termos sucesivos, e mediante un paso ata o límite, identificar o comportamento da serie cando $N$ medra indefinidamente (cando $N$ tende a infinito):

$S=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}.$

As series poden converxer ou diverxer. Se o límite existe, sendo distinto de infinito (positivo ou negativo), a serie converxe e no caso contrario a serie diverxe. Ver abaixo criterios de converxencia.

Algúns tipos de series

• Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo termo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

En xeral, as series xeométricas

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

converxen se e soamente se |z| < 1.

• Unha serie harmónica é do tipo

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

• Unha serie alternada é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplo:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.$

Criterios de converxencia

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe ($\pm \infty$ ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ é converxente, entón $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0$.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}\neq 0$ entón $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ é diverxente.

Tres exemplos famosos

• Serie harmónica, $S={\dfrac {1}{1}}+{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{3}}\cdots$, diverxe (tende lentamente a infinito).
• Serie da función zeta de Riemann para o parámetro 2 (problema de Basilea), $S=\zeta (2)={\dfrac {1}{1^{2}}}+{\dfrac {1}{2^{2}}}+{\dfrac {1}{3^{2}}}\cdots$, converxe a ${\dfrac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934$ (secuencia A013661 na OEIS).
• Serie alternada $S=1-1+1-1+1\cdots$, diverxe (tende a 1? tende a 0? tende a 1/2?).

Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que $a_{k}>0$ (termos non negativos).

Se existe

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l$

con $l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]$, o Criterio de D'Alembert establece que:

• se l < 1, a serie converxe.
• se l > 1, a serie diverxe.
• se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que $a_{k}>0$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}=l$, sendo $l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]$

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de $a_{k}$, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de $a_{k}$ que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que $a_{k}>0$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

$\lim _{k\rightarrow \infty }k\left(1-{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right)$, sendo $l\,\varepsilon \,(-\infty ,+\infty )$

Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia

Converxencia absoluta

Unha serie $\sum a_{n}$ converxe absolutamente se

$\sum _{i=1}^{\infty }|{a_{n}}|$

é converxente, isto é, se a suma dos seus valores absolutos converxe.

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---