Espazo ultramétrico

En matemáticas, un espazo ultramétrico é un espazo métrico no que a desigualdade do triángulo faise máis forte sendo $d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}$ para todos os $x$, $y$, e $z$. Ás veces, a métrica asociada tamén se denomina métrica non arquimediana ou supermétrica.

Definición formal

Unha ultramétrica nun conxunto M é unha función con valores reais

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

(onde ℝ denota os números reais), tal que para todo x, y, z ∈ M :

1. d(x, y) ≥ 0;
2. d(x, y) = d(y, x) (simetría);
3. d(x, x) = 0;
4. se d(x, y) = 0 entón x = y;
5. d(x, z) ≤ max {d(x, y), d(y, z)} (desigualdade forte do triángulo ou desigualdade ultramétrica).

Un espazo ultramétrico é un par (M, d) formado por un conxunto M xunto cunha distancia d ultramétrica en M, que se denomina función de distancia asociada ao espazo (tamén chamada métrica).

Se d satisfai todas as condicións excepto posíbelmente a condición 4, entón d chámase ultrapseudométrica en M. Un espazo ultrapseudométrico é un par (M, d) formado por un conxunto M e un ultrapseudométrico d sobre M.

No caso de que M sexa un grupo abeliano (escrito aditivamente) e d é xerada por unha función de lonxitude $\|\cdot \|$ (para que $d(x,y)=\|x-y\|$ ), a última propiedade pódese fortalecer usando a Krull, temos:

$\|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}$ con igualdade se $\|x\|\neq \|y\|$.

Propiedades

No triángulo da dereita, os dous puntos inferiores x e y violan a condición d(x,y) ≤ max{ d (x, z), d (y,z)}.

Da definición anterior, pódese concluír varias propiedades típicas da ultramétrica. Por exemplo, para todos os $x,y,z\in M$, cúmprese polo menos unha das tres igualdades $d(x,y)=d(y,z)$ ou $d(x,z)=d(y,z)$ ou $d(x,y)=d(z,x)$. É dicir, cada tripla de puntos do espazo forma un triángulo isósceles.

Definimos a bóla (aberta) de raio $r>0$ centrado en $x\in M$ como $B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}$, temos as seguintes propiedades:

• Todo punto dentro dunha bóla é o seu centro, é dicir, se $d(x,y)<r$ entón $B(x;r)=B(y;r)$ .
• As bólas que se cruzan están contidas entre si, é dicir, se $B(x;r)\cap B(y;s)$ entón tampouco está baleiro $B(x;r)\subseteq B(y;s)$ ou $B(y;s)\subseteq B(x;r)$ .
• Todas as bólas de raio estritamente positivo son conxuntos abertos e pechados na topoloxía inducida. É dicir, as bólas abertas tamén están pechadas e as bólas pechadas (substitúe $<$ con $\leq$ ) tamén están abertas.
• O conxunto de todas as bólas abertas con raio $r$ e centro nunha bóla pechada de raio $r>0$ forma unha partición deste último, e a distancia mutua de dúas bólas abertas distintas é (maior ou) igual a $r$.

Exemplos

• A métrica discreta é unha ultramétrica.
• Os números p-ádicos forman un espazo ultramétrico completo.
• Considere o conxunto de palabras de lonxitude arbitraria (finita ou infinita), Σ^*, sobre algún alfabeto Σ. Definimos a distancia entre dúas palabras diferentes como 2⁻ⁿ, onde n é o primeiro lugar no que difiren as palabras. A métrica resultante é unha ultramétrica.
• Se r = (r_n) é unha secuencia de números reais que decrecen a cero, entón |x|_r := lim sup _{n →∞} | x_n |^r_n induce unha ultramétrica no espazo de todas as secuencias complexas para as que é finita.
• Se G é un grafo non dirixido ponderado por arestas, todos os pesos das arestas son positivos, e d(u, v) é o peso do camiño mínimo entre u e v (é dicir, o maior peso dunha aresta, nun camiño escollido para minimizar este maior peso), entón os vértices do grafo, coa distancia medida por d, forman un espazo ultramétrico, e todos os espazos ultramétricos finitos poden representarse deste xeito.

Véxase tamén

Bibliografía

• Kaplansky, I. (1977). Set Theory and Metric Spaces. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2694-2. .

Outros artigos

• Espazo métrico.